Équivalent d'une somme de série alternée

Résolution.

1. Soit $x \geqslant 0$ fixé. Considérons la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $u_n = \ln(1 + x/n)$. Puisque $x \geqslant 0$, la suite $(u_n)$ est à termes positifs et tend vers $0$ quand $n \to +\infty$. De plus, la fonction $t \mapsto \ln(1+x/t)$ est décroissante sur $[1, +\infty[$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante. D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série de terme général $(-1)^{n-1} u_n$ converge.
   $$\boxed{\text{La fonction } f \text{ est donc bien définie sur } [0, +\infty[.}$$

2. Cherchons à transformer l'expression de $f(x)$. On peut écrire :
   $$f(x) = \ln(1+x) + \sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^{n-1} \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right)$$
   En effectuant le changement d'indice $k = n-1$ dans la somme, on obtient :
   $$f(x) = \ln(1+x) + \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k} \ln\left(1 + \frac{x}{k+1}\right)$$
   En sommant cette égalité avec la définition initiale $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \ln(1+x/n)$, il vient :
   $$2f(x) = \ln(1+x) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \left[ \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) - \ln\left(1 + \frac{x}{n+1}\right) \right]$$
   Simplifions le terme entre crochets :
   $$\ln\left(\frac{n+x}{n}\right) - \ln\left(\frac{n+1+x}{n+1}\right) = \ln\left(\frac{n+x}{n+1+x}\right) + \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$$
   Par linéarité des sommes convergentes, on sépare les deux contributions :
   $$2f(x) = \ln(1+x) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \ln\left(\frac{n+x}{n+1+x}\right)$$
   On reconnaît dans la première somme la valeur $f(1)$ (qui est une constante $C$ indépendante de $x$) :
   $$C = f(1) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \ln\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
   La seconde somme, que nous notons $R(x)$, s'écrit :
   $$R(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} \ln\left(\frac{n+1+x}{n+x}\right) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{n+x}\right)$$
   Pour $x \geqslant 0$, la suite $v_n(x) = \ln(1 + \frac{1}{n+x})$ est positive, décroissante et tend vers $0$. D'après le CSSA, le reste de cette série alternée est majoré par le premier terme :
   $$|R(x)| \leqslant |v_1(x)| = \ln\left(1 + \frac{1}{1+x}\right)$$
   On en déduit que $\lim_{x \to +\infty} R(x) = 0$. Ainsi :
   $$2f(x) = \ln(x) + \ln(1+1/x) + C + R(x)$$
   D'où le développement asymptotique :
   $$2f(x) = \ln(x) + C + o(1)$$
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2} \ln(x)}$$