Comportement asymptotique d'une suite récurrente

Résolution.

1. Étude de la suite $(x_n)$.

   Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $x_n > 0$. Par hypothèse, $x_0 > 0$. Si $x_n > 0$, comme la fonction $f$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, alors $x_{n+1} = x_n f(x_n) > 0$. La suite est donc bien définie et à valeurs strictement positives.

   Étudions les variations de la suite. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

   $$\frac{x_{n+1}}{x_n} = f(x_n)$$

   Or, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ et $f(0) = 1$. Puisque $x_n > 0$, on en déduit que $f(x_n) < f(0) = 1$. Ainsi, $x_{n+1} < x_n$, ce qui prouve que la suite $(x_n)$ est strictement décroissante.

   La suite $(x_n)$ est strictement décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers une limite réelle $\ell \ge 0$. Puisque $f$ est continue en $\ell$, le passage à la limite dans la relation de récurrence donne :

   $$\ell = \ell f(\ell) \iff \ell(1 - f(\ell)) = 0$$

   Ceci implique $\ell = 0$ ou $f(\ell) = 1$. Comme $f$ est strictement décroissante et $f(0)=1$, l'équation $f(\ell)=1$ n'admet que $\ell=0$ comme solution. Dans tous les cas :

   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} x_n = 0}$$

2. Nature de la série $\sum x_n$.

   Puisque $x_n \to 0$ et $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$, effectuons un développement limité de $f$ en $0$ :

   $$f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x) = 1 + f'(0)x + o(x)$$

   En injectant ce développement dans la relation de récurrence :

   $$x_{n+1} = x_n \left( 1 + f'(0)x_n + o(x_n) \right) = x_n + f'(0)x_n^2 + o(x_n^2)$$

   Cherchons un équivalent de la différence des inverses (méthode standard pour $x_{n+1} = x_n - a x_n^2$) :

   $$\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n (1 + f'(0)x_n + o(x_n))} = \frac{1}{x_n} (1 + f'(0)x_n + o(x_n))^{-1}$$

   En utilisant le développement $(1+u)^{-1} = 1 - u + o(u)$ quand $u \to 0$ :

   $$\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_n} \left( 1 - f'(0)x_n + o(x_n) \right) = \frac{1}{x_n} - f'(0) + o(1)$$

   On obtient ainsi la limite de la différence :

   $$\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} -f'(0)$$

   D'après le théorème de Cesàro appliqué à la suite $(\frac{1}{x_{k+1}} - \frac{1}{x_k})$, on a :

   $$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{x_{k+1}} - \frac{1}{x_k} \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} -f'(0)$$

   Par télescopage, cela revient à :

   $$\frac{1}{n} \left( \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_0} \right) \sim -f'(0)$$

   Puisque $x_n \to 0$, le terme $\frac{1}{x_0}$ est négligeable devant $\frac{1}{x_n}$, d'où :

   $$\frac{1}{x_n} \sim -n f'(0)$$

   Sachant que $f' < 0$, la constante $-f'(0)$ est positive (ou nulle si $f'(0)=0$, mais nous supposons ici $f'(0) < 0$). On en déduit l'équivalent :

   $$\boxed{x_n \sim \frac{1}{-f'(0) n}}$$

   Le terme général $x_n$ est positif et équivalent à celui d'une série de Riemann divergente ($\sum \frac{1}{n}$). Par théorème de comparaison des séries à termes positifs :

   $$\boxed{\text{La série } \sum x_n \text{ diverge.}}$$