Nature de la limite uniforme de polynômes

Résolution.

1. Cas d'un segment : La réponse est non. D'après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est limite uniforme d'une suite de polynômes. Considérons par exemple la fonction $f : x \mapsto e^x$ sur $[0, 1]$. Cette fonction est continue sur $[0, 1]$. On sait qu'elle est la limite uniforme de ses polynômes de Taylor sur tout segment. Pourtant, la fonction exponentielle n'est pas une fonction polynomiale (ses dérivées successives ne s'annulent jamais).
   $$\boxed{f \text{ n'est pas nécessairement polynomiale sur } [0, 1]}$$

2. Cas de la droite réelle : Supposons que $(P_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$. D'après le critère de Cauchy uniforme, pour $\epsilon = 1$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que :
   $$\forall n \geq N,   \forall x \in \mathbb{R},   |P_n(x) - P_N(x)| \leq 1$$
   Posons $Q_n = P_n - P_N$. Pour tout $n \geq N$, $Q_n$ est une fonction polynomiale. L'inégalité précédente montre que la fonction $Q_n$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Or, un polynôme réel borné sur $\mathbb{R}$ est nécessairement constant. En effet, si $\deg(Q_n) \geq 1$, alors $|Q_n(x)| \xrightarrow[|x| \to +\infty]{} +\infty$. Ainsi, pour tout $n \geq N$, il existe une constante $c_n \in \mathbb{R}$ telle que :
   $$\forall x \in \mathbb{R},   P_n(x) = P_N(x) + c_n$$
   Puisque la suite $(P_n)$ converge simplement vers $f$, fixons un $x_0 \in \mathbb{R}$. La suite numérique $(P_n(x_0))_{n \geq N}$ converge vers $f(x_0)$, donc la suite $(c_n)_{n \geq N}$ converge vers une limite réelle $L$. En passant à la limite dans l'égalité $P_n(x) = P_N(x) + c_n$, on obtient :
   $$\forall x \in \mathbb{R},   f(x) = P_N(x) + L$$
   Comme $P_N$ est un polynôme, $f$ est une fonction polynomiale (de même degré que $P_N$, sauf si $P_N$ est constant).
   $$\boxed{f \in \mathbb{R}[X]}$$