Somme d'une série rationnelle télescopique

Résolution.

1. Détermination du domaine de définition. Soit $u_n(x) = \frac{x^n}{(1 - x^n)(1 - x^{n+1})}$. Les valeurs $x=1$ et $x=-1$ (pour $n$ pair) annulent certains dénominateurs. On exclut donc $\{-1, 1\}$. Cas $|x| < 1$ : On a $x^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Ainsi :
   $$u_n(x) \sim x^n$$
   Comme $|x| < 1$, la série géométrique $\sum x^n$ converge absolument. Par comparaison, $\sum u_n(x)$ converge absolument. Cas $|x| > 1$ : On a $x^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \pm \infty$. On factorise par les termes dominants :
   $$u_n(x) = \frac{x^n}{(-x^n)(1 - x^{-n})(-x^{n+1})(1 - x^{-(n+1)})} = \frac{1}{x^{n+1}(1 - x^{-n})(1 - x^{-(n+1)})}$$
   D'où :
   $$u_n(x) \sim \frac{1}{x^{n+1}} = \frac{1}{x} \left( \frac{1}{x} \right)^n$$
   Comme $|1/x| < 1$, la série converge absolument par comparaison à une série géométrique.
   $$\boxed{ \mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} }$$

2. Relation entre $f(x)$ et $f(1/x)$. Soit $x \in \mathcal{D}_f \setminus \{0\}$. On calcule le terme général en $1/x$ :
   $$u_n\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x^n}}{\left(1 - \frac{1}{x^n}\right)\left(1 - \frac{1}{x^{n+1}}\right)}$$
   En multipliant le numérateur par $x^n \cdot x^{n+1}$ et le dénominateur par $(x^n)(x^{n+1})$, on obtient :
   $$u_n\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x^{n+1}}{(x^n - 1)(x^{n+1} - 1)} = \frac{x \cdot x^n}{(1 - x^n)(1 - x^{n+1})} = x \cdot u_n(x)$$
   Par sommation de la série, on en déduit la relation fonctionnelle :
   $$\boxed{ f\left(\frac{1}{x}\right) = x f(x) }$$

3. Calcul explicite de la somme. On cherche à faire apparaître une différence. On remarque que :
   $$\frac{1}{1-x^n} - \frac{1}{1-x^{n+1}} = \frac{(1-x^{n+1}) - (1-x^n)}{(1-x^n)(1-x^{n+1})} = \frac{x^n - x^{n+1}}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}$$
   Ce qui se simplifie en :
   $$\frac{1}{1-x^n} - \frac{1}{1-x^{n+1}} = (1-x) \frac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})} = (1-x) u_n(x)$$
   Premier cas : $|x| > 1$. Sous cette condition, on peut sommer la relation de télescopage :
   $$(1-x) \sum_{n=1}^{N} u_n(x) = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{1-x^n} - \frac{1}{1-x^{n+1}} \right) = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-x^{N+1}}$$
   Comme $|x| > 1$, $x^{N+1} \to \pm \infty$, donc $\frac{1}{1-x^{N+1}} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$. On obtient $(1-x)f(x) = \frac{1}{1-x}$, soit :
   $$\boxed{ \forall x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[,   f(x) = \frac{1}{(1-x)^2} }$$
   Second cas : $|x| < 1$. On utilise la relation établie à la question 2 : $f(x) = \frac{1}{x} f(1/x)$. Si $|x| < 1$ et $x \neq 0$, alors $|1/x| > 1$. On applique le résultat précédent à $1/x$ :
   $$f(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{x}\right)^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x}\right)^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{(x-1)^2}$$
   Ce qui donne $f(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$. Cette formule reste vraie en $x=0$ car $u_n(0)=0$ pour tout $n$, donc $f(0)=0$.
   $$\boxed{ \forall x \in ]-1, 1[,   f(x) = \frac{x}{(1-x)^2} }$$