Comportement asymptotique de la fonction Zêta

Résolution.

1. Étude de la définition. Soit $r \in [2, +\infty[$. Pour tout entier $k \ge 1$, on a $r \ge 2$, donc :
   $$0 < \frac{1}{k^r} \le \frac{1}{k^2}$$
   On sait que la série de Riemann $\sum \frac{1}{k^2}$ converge. Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum \frac{1}{k^r}$ converge pour tout $r \ge 2$.
   $$\boxed{f \text{ est bien définie sur } [2, +\infty[}$$

2. Développement asymptotique. Isolons les deux premiers termes de la série pour $r \ge 2$ :
   $$f(r) = 1 + \frac{1}{2^r} + \sum_{k=3}^{+\infty} \frac{1}{k^r}$$
   Posons $R(r) = \sum_{k=3}^{+\infty} \frac{1}{k^r}$. Nous allons majorer ce reste par une intégrale. La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^r}$ est continue, positive et décroissante sur $[2, +\infty[$. Pour tout $k \ge 3$, on a la comparaison classique :
   $$\frac{1}{k^r} \le \int_{k-1}^k \frac{dt}{t^r}$$
   En sommant pour $k$ allant de $3$ à $N$, puis en faisant tendre $N$ vers $+\infty$, on obtient :
   $$R(r) \le \int_2^{+\infty} \frac{dt}{t^r}$$
   Calculons cette intégrale pour $r > 1$ :
   $$\int_2^{+\infty} t^{-r} dt = \left[ \frac{t^{-r+1}}{-r+1} \right]_2^{+\infty} = 0 - \frac{2^{-r+1}}{-r+1} = \frac{2}{r-1} \cdot \frac{1}{2^r}$$
   On en déduit la majoration suivante pour le reste :
   $$0 \le R(r) \le \frac{2}{r-1} \left(\frac{1}{2^r}\right)$$
   Or, quand $r \to +\infty$, le terme $\frac{2}{r-1}$ tend vers $0$. Ceci implique que $R(r) = o\left(\frac{1}{2^r}\right)$, et a fortiori :
   $$R(r) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{2^r}\right)$$
   En reprenant l'expression de $f(r)$, on a :
   $$f(r) = 1 + \frac{1}{2^r} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{2^r}\right)$$
   Comme $\frac{1}{2^r}$ est lui-même un $\mathcal{O}\left(\frac{1}{2^r}\right)$, on conclut :
   $$\boxed{f(r) = 1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{2^r}\right)}$$