Régularité et équivalent d'une série d'arctangentes

Résolution.

1. Étude de la continuité de $f$ sur $\mathbb{R$.}

   Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in \mathbb{R}$, $u_n(x) = \frac{\arctan(nx)}{n^2}$.

   La fonction $\arctan$ est bornée sur $\mathbb{R}$ par $\frac{\pi}{2}$. Ainsi :

   $$\forall x \in \mathbb{R},   |u_n(x)| \leq \frac{\pi}{2n^2}$$

   On reconnaît le terme général d'une série de Riemann convergente ($\sum \frac{1}{n^2}$ converge). La série $\sum u_n$ converge donc normalement, et par suite uniformément, sur $\mathbb{R}$.

   Comme chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$, la somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ par transfert de continuité.

   $$\boxed{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) }$$

2. Étude de la classe $\mathcal{C$^1 sur $\mathbb{R}^*$.}

   Chaque fonction $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est donnée par :

   $$\forall x \in \mathbb{R},   u_n'(x) = \frac{n}{n^2(1 + (nx)^2)} = \frac{1}{n(1 + n^2x^2)}$$

   Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a l'encadrement suivant :

   $$0 < u_n'(x) \leq \frac{1}{n(1 + n^2a^2)}$$

   Le majorant est équivalent à $\frac{1}{a^2 n^3}$ au voisinage de l'infini, ce qui assure la convergence de la série $\sum \|u_n'\|_{\infty, [a, +\infty[}$. La série des dérivées converge donc normalement (et uniformément) sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$.

   Par symétrie de la fonction dérivée (qui est paire), le raisonnement est identique sur $]-\infty, -a]$. Ainsi, la série converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}^*$.

   D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^*$ et :

   $$\boxed{ \forall x \neq 0,   f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1 + n^2x^2)} }$$

3. Comportement de $f'$ au voisinage de $0^+$.

   Considérons, pour $x > 0$ fixé, la fonction $g : t \mapsto \frac{1}{t(1 + t^2x^2)}$ définie sur $[1, +\infty[$. Cette fonction est continue, positive et décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale, nous avons :

   $$\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t(1 + t^2x^2)} \leq f'(x) \leq g(1) + \int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t(1 + t^2x^2)}$$

   Calculons l'intégrale $J(x) = \int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{t(1 + t^2x^2)}$. En utilisant une décomposition en éléments simples :

   $$\frac{1}{t(1 + t^2x^2)} = \frac{1}{t} - \frac{tx^2}{1 + t^2x^2}$$

   On intègre sur un intervalle $[1, A]$ avant de passer à la limite :

   $$\int_{1}^{A} \left( \frac{1}{t} - \frac{tx^2}{1 + t^2x^2} \right) dt = \left[ \ln(t) - \frac{1}{2}\ln(1 + t^2x^2) \right]_1^A = \left[ \ln \left( \frac{t}{\sqrt{1+t^2x^2}} \right) \right]_1^A$$

   En faisant tendre $A$ vers $+\infty$, le terme $\frac{A}{\sqrt{1+A^2x^2}}$ tend vers $\frac{1}{x}$ (pour $x > 0$). On obtient :

   $$J(x) = \ln \left( \frac{1}{x} \right) - \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right) = -\ln(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$$

   Quand $x \to 0^+$, on a $J(x) \sim -\ln(x)$ et $g(1) = \frac{1}{1+x^2} \to 1$. L'encadrement précédent permet de conclure, par le théorème des gendarmes (après division par $-\ln(x)$) :

   $$\boxed{ f'(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\ln(x) }$$