Composition et continuité d'une série alternée

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction d'une variable réelle. Pour tout entier naturel $n$ , on définit la fonction $u_n$ sur $\mathbb{R}$ par :

u_n(x) = \frac{(-1)^n f(x)}{\sqrt{1 + n^2 f(x)^2}}

On considère la somme

S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)

.

Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction $S$ .
La série de fonctions $\sum u_n$ converge-t-elle uniformément sur $D$ ?
On suppose dans cette question que $f$ $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ $R$ .
1. Démontrer que $S$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
2. Étudier la réciproque : si $S$ est continue sur $\mathbb{R}$ , la fonction $f$ l'est-elle nécessairement ?

1.

Pour la convergence, utiliser le critère spécial des séries alternées (CSSA) en fixant $x$ .

2.

Pour la convergence uniforme, exploiter la majoration du reste fournie par le CSSA et étudier les variations de la fonction $y \mapsto \frac{y}{\sqrt{1+n^2y^2}}$ .

3.

Pour la réciproque, introduire la fonction auxiliaire $T(y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n y}{\sqrt{1+n^2y^2}}$ et montrer qu'elle définit un homéomorphisme de $\mathbb{R}$ sur son image.

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées et majoration du reste.

•

Théorème de continuité sous l'hypothèse de convergence uniforme.

•

Étude d'une fonction définie par une série comme composée de fonctions.

Résolution.

Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Posons $y = f(x)$ . Si $y = 0$ , alors $u_n(x) = 0$ pour tout $n$ , donc la série converge vers 0. Si $y \neq 0$ , la suite $(|u_n(x)|)_{n \in \mathbb{N}}$ est donnée par $\frac{|y|}{\sqrt{1 + n^2 y^2}}$ . C'est une suite de réels positifs, décroissante vers 0. De plus, le terme général $u_n(x)$ est alterné en signe. D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série $\sum u_n(x)$ converge. $\boxed{D = \mathbb{R}}$
Le CSSA nous donne une majoration du reste de la série. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}$ : $|R_n(x)| = \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) \right| \leq |u_{n+1}(x)| = \frac{|f(x)|}{\sqrt{1 + (n+1)^2 f(x)^2}}$ Posons $g_{n+1}(y) = \frac{y}{\sqrt{1 + (n+1)^2 y^2}}$ pour $y \geq 0$ . La fonction $g_{n+1}$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$ car sa dérivée est : $g_{n+1}'(y) = \frac{1}{(1 + (n+1)^2 y^2)^{3/2}} > 0$ Par ailleurs, $\lim_{y \to +\infty} g_{n+1}(y) = \frac{1}{n+1}$ . Ainsi, pour tout $y \in \mathbb{R}$ , on a $|g_{n+1}(y)| < \frac{1}{n+1}$ . On en déduit : $\forall x \in \mathbb{R}, |R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1}$ Le majorant ne dépend pas de $x$ et tend vers 0 quand $n \to +\infty$ . $\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}.}$
1. Chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme composée et quotient de fonctions continues (le dénominateur ne s'annule jamais). Comme la série de fonctions continues converge uniformément sur $\mathbb{R}$ , sa somme $S$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
2. Posons $T(y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n y}{\sqrt{1 + n^2 y^2}}$ pour $y \in \mathbb{R}$ . On a $S = T \circ f$ . D'après les questions précédentes appliquées au cas $f(y)=y$ , $T$ est continue sur $\mathbb{R}$ . Étudions la dérivabilité de $T$ sur $\mathbb{R}^*$ . Soit $v_n(y) = \frac{(-1)^n y}{\sqrt{1 + n^2 y^2}}$ . On a : $v_n'(y) = \frac{(-1)^n}{(1 + n^2 y^2)^{3/2}}$ Pour tout $a > 0$ , la série $\sum v_n'$ converge uniformément sur $[a, +\infty[$ par le CSSA (le reste est majoré par $\frac{1}{(1+(n+1)^2a^2)^{3/2}}$ ). Donc $T$ est $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}^*$ et : $T'(y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(1 + n^2 y^2)^{3/2}}$ Pour $y \neq 0$ , cette série est alternée et vérifie le CSSA. La somme est comprise entre le premier terme (1) et la somme des deux premiers termes. $\forall y \neq 0, 1 - \frac{1}{(1+y^2)^{3/2}} < T'(y) < 1$ Ainsi $T'(y) > 0$ sur $\mathbb{R}^*$ . $T$ est donc strictement croissante et continue sur $\mathbb{R}$ . $T$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $I = T(\mathbb{R})$ . Son application réciproque $T^{-1} : I \to \mathbb{R}$ est continue. Si $S$ est continue, alors $f = T^{-1} \circ S$ est continue par composition. $\boxed{\text{La réciproque est vraie.}}$

Confondre convergence uniforme et normale.

Étude de la continuité de S = T o f via les propriétés de T.