Équivalents d'une série en 1/sh(nx)

Résolution.

1. Pour $x > 0$ fixé, on a $\operatorname{sh}(nx) \sim \frac{e^{nx}}{2}$. Ainsi, $\frac{1}{\operatorname{sh}(nx)} = O(e^{-nx})$. La série converge par comparaison avec une série géométrique de raison $e^{-x} < 1$.
   $$\boxed{f \text{ est bien définie sur } ]0, +\infty[}$$

2. Étude en $+\infty$. Factorisons par le terme prépondérant $u_1(x) = \frac{1}{\operatorname{sh}(x)}$ :
   $$f(x) = \frac{1}{\operatorname{sh}(x)} \left( 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{sh}(nx)} \right)$$

   Pour $x \geq 1$, on a l'encadrement $\operatorname{sh}(nx) \geq \frac{e^{nx}}{4}$ (car $e^{-nx}$ devient négligeable). Alors, pour $n \geq 2$, $\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{sh}(nx)} \leq \frac{e^x/2}{e^{nx}/4} = 2 e^{(1-n)x}$. En sommant pour $n \geq 2$ :

   $$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{sh}(nx)} \leq \sum_{k=1}^{+\infty} 2 e^{-kx} = \frac{2e^{-x}}{1-e^{-x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$$
   On en déduit $f(x) \sim \frac{1}{\operatorname{sh}(x)}$. Comme $\operatorname{sh}(x) \sim \frac{e^x}{2}$, on obtient :
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} 2e^{-x}}$$

3. Étude en $0^+$. La fonction $t \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh}(xt)}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{\operatorname{sh}(xt)} \leq f(x) \leq \frac{1}{\operatorname{sh}(x)} + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\operatorname{sh}(xt)}$$

   Effectuons le changement de variable $u = xt$ ($du = x dt$) dans l'intégrale :

   $$I(x) = \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\operatorname{sh}(xt)} = \frac{1}{x} \int_x^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u)}$$

   Analysons le comportement de cette intégrale lorsque $x \to 0^+$. La fonction $u \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh}(u)}$ est intégrable en $+\infty$ mais pas en $0$ car $\frac{1}{\operatorname{sh}(u)} \sim \frac{1}{u}$.

   $$\int_x^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u)} = \int_x^1 \frac{du}{\operatorname{sh}(u)} + \int_1^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u)}$$

   Le second terme est une constante. Pour le premier :

   $$\frac{1}{\operatorname{sh}(u)} = \frac{1}{u} + O(u) \implies \int_x^1 \frac{du}{\operatorname{sh}(u)} = \int_x^1 \frac{du}{u} + O(1) = -\ln(x) + O(1)$$

   Ainsi, $\int_x^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u)} \sim -\ln(x)$. On en déduit $I(x) \sim -\frac{\ln x}{x}$. Comme $\frac{1}{\operatorname{sh}(x)} \sim \frac{1}{x} = o\left( \frac{\ln x}{x} \right)$, l'encadrement donne :

   $$\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\frac{\ln x}{x}}$$