Équivalents d'une série en 1/ch(nx)

Résolution.

1. Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\frac{1}{\operatorname{ch}(nx)} \sim 2e^{-n|x|}$. La série converge absolument pour tout $x \neq 0$. Par parité, on étudie $g$ sur $]0, +\infty[$.
   $$\boxed{D_g = \mathbb{R}^*}$$

2. Équivalent en $+\infty$. Comme pour $\operatorname{sh}(nx)$, le terme pour $n=1$ domine.
   $$g(x) = \frac{1}{\operatorname{ch}(x)} + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{ch}(nx)}$$

   Or $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{ch}(nx)} \leq \sum_{n=2}^{+\infty} 2e^{-nx} = \frac{2e^{-2x}}{1-e^{-x}} = o(e^{-x})$. Comme $\frac{1}{\operatorname{ch}(x)} \sim 2e^{-x}$, on obtient :

   $$\boxed{g(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} 2e^{-x}}$$

3. Équivalent en $0$. Soit $x > 0$. La fonction $t \mapsto \frac{1}{\operatorname{ch}(xt)}$ est décroissante sur $[0, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{\operatorname{ch}(xt)} \leq g(x) \leq \int_0^{+\infty} \frac{dt}{\operatorname{ch}(xt)}$$

   Posons $u = xt$ dans l'intégrale :

   $$\int_0^{+\infty} \frac{dt}{\operatorname{ch}(xt)} = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{ch}(u)}$$

   Calculons l'intégrale $I = \int_0^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{ch}(u)}$ :

   $$I = \int_0^{+\infty} \frac{2}{e^u + e^{-u}} du = \int_0^{+\infty} \frac{2e^u}{e^{2u} + 1} du$$

   En posant $v = e^u$, $dv = e^u du$ :

   $$I = \int_1^{+\infty} \frac{2}{v^2 + 1} dv = 2 \left[ \arctan(v) \right]_1^{+\infty} = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2}$$

   Ainsi, les deux membres de l'encadrement sont équivalents à $\frac{\pi}{2x}$ (la différence entre les deux intégrales étant $\int_0^1 \frac{dt}{\operatorname{ch}(xt)} \leq 1 = o(1/x)$).

   $$\boxed{g(x) \underset{x \to 0}{\sim} \frac{\pi}{2x}}$$