Asymptotique d'intégrales et constante de Catalan

Résolution.

1. Pour $t \in [0, 1[$, on a $t^n \to 0$, donc $\frac{1}{1+t^n} \to 1$. La fonction $f_n(t) = \frac{1}{1+t^n}$ est continue sur $[0, 1]$ et vérifie $|f_n(t)| \leq 1$. D'après le théorème de convergence dominée :
   $$\lim_{n \to \infty} I_n = \int_0^1 1   dt = \boxed{1}$$

2. Calculons $1 - I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1+t^n}   dt$. Par intégration par parties en posant $u(t) = t$ et $v'(t) = \frac{nt^{n-1}}{1+t^n}$ :
   $$1 - I_n = \frac{1}{n} \int_0^1 t \cdot \frac{n t^{n-1}}{1+t^n}   dt = \frac{1}{n} \left( [t \ln(1+t^n)]_0^1 - \int_0^1 \ln(1+t^n)   dt \right)$$
   D'où la relation :
   $$\boxed{1 - I_n = \frac{\ln 2}{n} - \frac{J_n}{n}}$$
   Comme $\ln(1+t^n) \to 0$ sur $[0, 1[$ avec une domination par $\ln 2$, le TCD assure que $J_n \to 0$. On en déduit :
   $$I_n = 1 - \frac{\ln 2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$

3. Effectuons le changement de variable $u = t^n$ ($t = u^{1/n}$, $dt = \frac{1}{n} u^{1/n-1}   du$) :
   $$J_n = \int_0^1 \ln(1+u) \frac{1}{n} u^{\frac{1}{n}-1}   du = \frac{1}{n} \int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u} u^{1/n}   du$$
   L'intégrale $K = \int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u}   du$ converge car la fonction est prolongeable par continuité en $0$ (limite valant $1$). Par convergence dominée (la fonction sous l'intégrale est dominée par $\frac{\ln(1+u)}{u}$), on a :
   $$\lim_{n \to \infty} n J_n = K \implies \boxed{J_n \sim \frac{K}{n}}$$

4. Pour $u \in [0, 1[$, $\ln(1+u) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k u^{k+1}}{k+1}$. Ainsi :
   $$\frac{\ln(1+u)}{u} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k u^k}{k+1}$$
   Par intégration terme à terme (série alternée dont le reste tend vers 0 ou par convergence uniforme sur $[0, r]$), on obtient :
   $$K = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^2} = \boxed{\sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m^2}}$$

5. En reprenant la relation du (2) et l'équivalent du (3) :
   $$I_n = 1 - \frac{\ln 2}{n} + \frac{1}{n} \left( \frac{K}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)$$
   Soit le développement final :
   $$\boxed{I_n = 1 - \frac{\ln 2}{n} + \frac{K}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)}$$