Étude d'une série de fonctions rationnelles

Soit $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \frac{x}{n(1+n^2 x^2)}

On considère la fonction

S

définie par la somme de la série de fonctions

\sum_{n \ge 1} f_n

.

Justifier que la fonction $S$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^*$ .
Étudier la limite du taux d'accroissement de $S$ en $0$ . La fonction $S$ est-elle dérivable en $0$ ?

1.

Pour la continuité, utiliser l'inégalité classique $2|ab| \le a^2 + b^2$ pour obtenir une majoration indépendante de $x$ .

2.

Pour la classe $\mathcal{C}^1$ , étudier la convergence normale de la série des dérivées sur les intervalles de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

3.

Pour le taux d'accroissement en $0$ , comparer la somme à une intégrale ou effectuer un changement de variable dans une minoration intégrale.

Idées clés

•

Majoration uniforme par une série de Riemann pour la convergence normale.

•

Théorème de dérivation sous le signe somme (convergence locale uniforme de la série des dérivées).

•

Comparaison série-intégrale pour obtenir un équivalent ou une limite à l'origine.

Résolution.

Domaine de définition et continuité. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on utilise l'inégalité $1+n^2x^2 \ge 2|nx|$ . On en déduit la majoration suivante : $|f_n(x)| = \frac{|x|}{n(1+n^2x^2)} \le \frac{|x|}{n \cdot 2n|x|} = \frac{1}{2n^2}$ Cette majoration est valable pour tout $x \neq 0$ . Pour $x=0$ , $f_n(0)=0$ , donc l'inégalité reste vraie. On a donc : $\|f_n\|_{\infty, \mathbb{R}} \le \frac{1}{2n^2}$ Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ . Chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ (le dénominateur ne s'annule jamais). Par théorème de continuité sous le signe somme : $\boxed{S \text{ est définie et continue sur } \mathbb{R}}$
Dérivabilité sur $\mathbb{R$ ^* $R^{*}$ .} Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ . Un calcul direct donne : $f_n'(x) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1 \cdot (1+n^2x^2) - x \cdot (2n^2x)}{(1+n^2x^2)^2} = \frac{1-n^2x^2}{n(1+n^2x^2)^2}$ Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a : $|f_n'(x)| \le \frac{1+n^2x^2}{n(1+n^2x^2)^2} = \frac{1}{n(1+n^2x^2)} \le \frac{1}{n(1+n^2a^2)}$ Le terme de droite est équivalent à $\frac{1}{a^2 n^3}$ quand $n \to +\infty$ . La série $\sum f_n'$ converge donc normalement sur $[a, +\infty[$ . Par symétrie (la fonction $S$ est impaire), la convergence est également normale sur tout segment de $]-\infty, 0[$ . Ainsi, $\sum f_n'$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}^*$ . On en conclut : $\boxed{S \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } \mathbb{R}^*}$
Étude en $0$ . Calculons le taux d'accroissement en $0$ pour $x > 0$ : $\frac{S(x)-S(0)}{x-0} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f_n(x)}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+n^2x^2)}$ La fonction $t \mapsto \frac{1}{t(1+t^2x^2)}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+n^2x^2)} \ge \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(1+t^2x^2)}$ Effectuons le changement de variable $u = tx$ , d'où $\mathrm{d}u = x \mathrm{d}t$ : $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(1+t^2x^2)} = \int_{x}^{+\infty} \frac{x}{u(1+u^2)} \frac{\mathrm{d}u}{x} = \int_{x}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u(1+u^2)}$ Or, la fonction $u \mapsto \frac{1}{u(1+u^2)}$ est équivalente à $\frac{1}{u}$ en $0^+$ , donc son intégrale diverge en $0$ . $\lim_{x \to 0^+} \int_{x}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u(1+u^2)} = +\infty$ Le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ en $0$ . $\boxed{S \text{ n'est pas dérivable en } 0}$

Confusion entre convergence de la série et convergence de la série des dérivées.

Utilisation de la comparaison intégrale pour prouver une non-dérivabilité.