Étude de deux séries de fonctions exponentielles

Soit $x \in \mathbb{R}$ . On définit les deux suites de fonctions $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par :

u_n(x) = e^{-n^2 x}   \text{et}   v_n(x) = x e^{-n^2 x}

Déterminer les domaines de convergence simple des séries de fonctions $\sum u_n$ et $\sum v_n$ .
On note $S_u$ $S_{u}$ et $S_v$ $S_{v}$ les fonctions sommes respectives. Étudier l'existence et la valeur des limites suivantes :
1. $\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^2 x}$
2. $\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^{+\infty} x e^{-n^2 x}$

1.

Pour la convergence simple, examiner le comportement du terme général selon le signe de $x$ .

2.

Pour la limite de $S_u$ , on pourra minorer la somme en ne conservant que les termes tels que $n^2 \leq 1/x$ .

3.

Pour la limite de $S_v$ , étudier la convergence normale de la série sur $\mathbb{R}_+$ .

Idées clés

•

Convergence simple : condition nécessaire $u_n(x) \to 0$ .

•

Divergence vers $+\infty$ : minoration par une quantité divergeant avec le paramètre.

•

Théorème de la limite terme à terme : nécessite la convergence uniforme (souvent via la convergence normale).

Résolution.

Domaines de convergence :
Pour la série $\sum u_n$ :
- Si $x > 0$ , alors $n^2 x \to +\infty$ . On a $e^{-n^2 x} = o(1/n^2)$ par croissance comparée. La série converge.
- Si $x = 0$ , $u_n(0) = 1$ pour tout $n$ . La série diverge grossièrement.
- Si $x < 0$ , $u_n(x) = e^{n^2 |x|} \to +\infty$ . La série diverge grossièrement.
$\boxed{\mathcal{D}_u = ]0, +\infty[}$
Pour la série $\sum v_n$ :
- Si $x > 0$ , la série converge (même argument que pour $u_n$ , le facteur $x$ est constant par rapport à $n$ ).
- Si $x = 0$ , $v_n(0) = 0$ pour tout $n$ . La série converge et sa somme est nulle.
- Si $x < 0$ , $v_n(x) = x e^{n^2 |x|} \to -\infty$ . La série diverge grossièrement.
$\boxed{\mathcal{D}_v = [0, +\infty[}$
Étude des limites en $0^+$ :
1. Limite de $S_u$ : Soit $x > 0$ . Pour tout entier $N \geq 1$ , on a $S_u(x) \geq \sum_{n=0}^{N} e^{-n^2 x}$ . Choisissons $N = \lfloor \frac{1}{\sqrt{x}} \rfloor$ . Pour tout $n \in \{0, \dots, N\}$ , on a $n^2 \leq \frac{1}{x}$ , donc $n^2 x \leq 1$ . Il s'ensuit que $e^{-n^2 x} \geq e^{-1}$ . On peut alors minorer la somme : $S_u(x) \geq \sum_{n=0}^{N} e^{-1} = \frac{N+1}{e}$
  Comme $N = \lfloor \frac{1}{\sqrt{x}} \rfloor \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ quand $x \to 0^+$ , on en déduit que $\frac{N+1}{e} \to +\infty$ . Par comparaison :
  $\boxed{\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^2 x} = +\infty}$
2. Limite de $S_v$ : Étudions la convergence normale de $\sum v_n$ sur $\mathbb{R}_+$ . Soit $f_n(x) = x e^{-n^2 x}$ pour $x \geq 0$ . La fonction $f_n$ est dérivable et : $f_n'(x) = (1 - n^2 x) e^{-n^2 x}$
  La dérivée s'annule en $x_n = 1/n^2$ (pour $n \geq 1$ ). Le maximum de $|f_n|$ sur $\mathbb{R}_+$ est donc :
  $\|f_n\|_\infty = f_n\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} e^{-1} = \frac{1}{en^2}$
  Comme la série numérique $\sum \frac{1}{en^2}$ converge (série de Riemann de paramètre $2 > 1$ ), la série de fonctions $\sum v_n$ converge normalement, donc uniformément, sur $\mathbb{R}_+$ .
  D'après le théorème de la limite terme à terme :
  $\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^{+\infty} v_n(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim_{x \to 0^+} v_n(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} 0$
  On conclut :
  $\boxed{\lim_{x \to 0^+} \sum_{n=0}^{+\infty} x e^{-n^2 x} = 0}$

Application hâtive du théorème de la limite sans vérification de la convergence uniforme.

Technique de minoration de la somme par une tranche de termes dépendant du paramètre pour prouver une divergence à la frontière.