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Sommation des relations de comparaison pour les puissances

puissanceséquivalentcomparaison intégraledéveloppement limitéComparaison série-intégraleSommation d'équivalents

Soit α\alpha un réel strictement positif. On s'intéresse au comportement asymptotique de la suite de terme général Un=∑k=1nkαU_{n} = \sum_{k=1}^{n} k^{\alpha}.

  1. Déterminer un équivalent simple de UnU_n lorsque nn tend vers +∞+\infty.
  2. On pose Vn=∑k=1nkα−nα+1α+1V_{n} = \sum_{k=1}^{n} k^{\alpha} - \frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}. En étudiant la différence Vn−Vn−1V_n - V_{n-1}, déterminer un équivalent de VnV_n sous la forme CnβC n^{\beta} où CC et β\beta sont des constantes à préciser.

1.

Pour la question 1, comparer la somme à une intégrale ou utiliser le théorème de sommation des équivalents pour des séries divergentes.

2.

Pour la question 2, effectuer un développement limité de (n−1)α+1(n-1)^{\alpha+1} pour obtenir un équivalent de Vn−Vn−1V_n - V_{n-1}, puis sommer ces équivalents.

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale.

•

Sommation des relations de comparaison (cas divergent).

•

Développement limité pour obtenir le premier terme non nul.

Résolution.

  1. La fonction t↦tαt \mapsto t^{\alpha} est croissante sur [0,+∞[[0, +\infty[ puisque α>0\alpha > 0. Par comparaison avec une intégrale, on a :
    ∫0ntα dt≤∑k=1nkα≤∫1n+1tα dt\int_{0}^{n} t^{\alpha}   dt \leq \sum_{k=1}^{n} k^{\alpha} \leq \int_{1}^{n+1} t^{\alpha}   dt

    En calculant les intégrales, on obtient :

    nα+1α+1≤Un≤(n+1)α+1−1α+1\frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1} \leq U_n \leq \frac{(n+1)^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}

    Comme (n+1)α+1α+1∼nα+1α+1\frac{(n+1)^{\alpha+1}}{\alpha+1} \sim \frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que :

    Un∼nα+1α+1\boxed{ U_n \sim \frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1} }

  2. Posons vn=Vn−Vn−1=nα−1α+1(nα+1−(n−1)α+1)v_n = V_n - V_{n-1} = n^{\alpha} - \frac{1}{\alpha+1} \left( n^{\alpha+1} - (n-1)^{\alpha+1} \right) pour n≥2n \geq 2. Effectuons un développement limité au voisinage de n→+∞n \to +\infty :
    (n−1)α+1=nα+1(1−1n)α+1(n-1)^{\alpha+1} = n^{\alpha+1} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{\alpha+1}

    (n−1)α+1=nα+1(1−α+1n+(α+1)α2n2+o(1n2))(n-1)^{\alpha+1} = n^{\alpha+1} \left( 1 - \frac{\alpha+1}{n} + \frac{(\alpha+1)\alpha}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)

    En distribuant nα+1n^{\alpha+1}, on obtient :

    (n−1)α+1=nα+1−(α+1)nα+(α+1)α2nα−1+o(nα−1)(n-1)^{\alpha+1} = n^{\alpha+1} - (\alpha+1)n^{\alpha} + \frac{(\alpha+1)\alpha}{2}n^{\alpha-1} + o(n^{\alpha-1})

    Injectons ce résultat dans l'expression de vnv_n :

    vn=nα−1α+1[nα+1−(nα+1−(α+1)nα+(α+1)α2nα−1+o(nα−1))]v_n = n^{\alpha} - \frac{1}{\alpha+1} \left[ n^{\alpha+1} - \left( n^{\alpha+1} - (\alpha+1)n^{\alpha} + \frac{(\alpha+1)\alpha}{2}n^{\alpha-1} + o(n^{\alpha-1}) \right) \right]

    vn=nα−1α+1[(α+1)nα−(α+1)α2nα−1+o(nα−1)]v_n = n^{\alpha} - \frac{1}{\alpha+1} \left[ (\alpha+1)n^{\alpha} - \frac{(\alpha+1)\alpha}{2}n^{\alpha-1} + o(n^{\alpha-1}) \right]

    En simplifiant, il reste :

    vn=α2nα−1+o(nα−1)v_n = \frac{\alpha}{2} n^{\alpha-1} + o(n^{\alpha-1})

    Comme α>0\alpha > 0, la série ∑vn\sum v_n diverge. On peut alors sommer les équivalents :

    Vn=∑k=2nvk+V1∼∑k=1nα2kα−1V_n = \sum_{k=2}^n v_k + V_1 \sim \sum_{k=1}^n \frac{\alpha}{2} k^{\alpha-1}

    D'après le résultat de la question 1 appliqué à l'exposant α−1\alpha-1 (en notant que l'équivalent reste valable tant que la série diverge, soit α−1>−1\alpha-1 > -1 donc α>0\alpha > 0) :

    ∑k=1nkα−1∼n(α−1)+1(α−1)+1=nαα\sum_{k=1}^n k^{\alpha-1} \sim \frac{n^{(\alpha-1)+1}}{(\alpha-1)+1} = \frac{n^{\alpha}}{\alpha}

    Finalement, en multipliant par le coefficient α2\frac{\alpha}{2} :

    Vn∼nα2\boxed{ V_n \sim \frac{n^{\alpha}}{2} }

Vérifier la divergence de la série avant de sommer les équivalents.

La méthode de la différence Vn−Vn−1V_n - V_{n-1} permet d'accéder au terme suivant d'un développement asymptotique.