Série à pas quadratique et équivalents

Résolution.

1. Équivalent en $+\infty$. Comme $\operatorname{sh}(n^2x) \sim \frac{1}{2}e^{n^2x}$, le terme $n=1$ est très largement prépondérant car $n^2$ croît très vite.
   $$h(x) = \frac{1}{\operatorname{sh}(x)} + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{sh}(n^2x)}$$
   Pour $x \geq 1$ et $n \geq 2$, $n^2x \geq 4x$. Le reste est donc négligeable devant le premier terme.
   $$\boxed{h(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} 2e^{-x}}$$

2. Étude en $0^+$. La fonction $t \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh}(t^2x)}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$h(x) \sim \int_1^{+\infty} \frac{dt}{\operatorname{sh}(t^2x)}$$

   Posons $u = t\sqrt{x}$, d'où $dt = \frac{du}{\sqrt{x}}$. L'intégrale devient :

   $$J(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{\sqrt{x}}^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u^2)}$$

   Étudions la convergence de l'intégrale de $u \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh}(u^2)}$.

   • En $+\infty$, la fonction décroît exponentiellement, donc l'intégrale converge.
   • En $0$, $\frac{1}{\operatorname{sh}(u^2)} \sim \frac{1}{u^2}$, dont l'intégrale diverge.

   Isolons la divergence en $0$ :

   $$\int_{\sqrt{x}}^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u^2)} = \int_{\sqrt{x}}^{1} \frac{du}{\operatorname{sh}(u^2)} + \int_{1}^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u^2)}$$

   Comme $\frac{1}{\operatorname{sh}(u^2)} = \frac{1}{u^2} + O(1)$ au voisinage de $0$ :

   $$\int_{\sqrt{x}}^{1} \frac{du}{\operatorname{sh}(u^2)} = \int_{\sqrt{x}}^{1} \frac{du}{u^2} + O(1) = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{\sqrt{x}}^1 + O(1) = \frac{1}{\sqrt{x}} + O(1)$$

   Ainsi, $\int_{\sqrt{x}}^{+\infty} \frac{du}{\operatorname{sh}(u^2)} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$. En multipliant par le facteur devant l'intégrale :

   $$h(x) \sim \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$$
   $$\boxed{h(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x}}$$