Série de fonctions et dérivabilité en zéro

Résolution.

1. $f_n$ est impaire, étudions-la sur $\mathbb{R}_+$. $f_n'(x) = \frac{n(1+n^2x^2) - x(2n^3x)}{n^2(1+n^2x^2)^2} = \frac{1-n^2x^2}{n(1+n^2x^2)^2}$. $f_n'$ s'annule en $x = 1/n$. Le maximum de $|f_n|$ est $f_n(1/n) = \frac{1/n}{n(1+1)} = \frac{1}{2n^2}$. Comme $\sum \frac{1}{2n^2}$ converge, $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$. Les $f_n$ sont continues, donc $\boxed{S \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$.

2. $f_n'(x) = \frac{1-n^2x^2}{n(1+n^2x^2)^2}$. Pour $x \geq a > 0$, $|f_n'(x)| \sim \frac{n^2x^2}{n^5x^4} = \frac{1}{n^3x^2}$. La série des dérivées converge normalement sur tout $[a, +\infty[$.
   $$\boxed{S \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } ]0, +\infty[}$$

3. Pour $x > 0$, comparons $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n(1+n^2x^2)}$ à $I(x) = \int_1^{+\infty} \frac{x}{t(1+t^2x^2)} dt$. Le changement de variable $u = tx$ donne $du = x dt$ :
   $$I(x) = \int_x^{+\infty} \frac{x}{(u/x)(1+u^2)} \frac{du}{x} = \int_x^{+\infty} \frac{du}{u(1+u^2)}$$
   Par décomposition : $\frac{1}{u(1+u^2)} = \frac{1}{u} - \frac{u}{1+u^2}$.
   $$I(x) = \left[ \ln u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2) \right]_x^{+\infty} = \left[ \ln \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \right]_x^{+\infty} = 0 - \ln \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = -\ln x + \frac{1}{2}\ln(1+x^2)$$
   Ainsi $I(x) \sim -\ln x$. On montre par l'encadrement usuel que $S(x) \sim I(x)$.
   $$\boxed{S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -x \ln x}$$

4. On a $\frac{S(x) - S(0)}{x-0} = \frac{S(x)}{x} \sim -\ln x \xrightarrow{x \to 0^+} +\infty$.
   $$\boxed{S \text{ n'est pas dérivable en } 0}$$