Étude d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Domaine de définition et continuité. Pour chaque $n \in \mathbb{N}^*$, posons $f_n(x) = \frac{1}{x^2+n^2}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $0 \leq f_n(x) \leq \frac{1}{n^2}$. Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{ S \text{ est définie et continue sur } \mathbb{R} }$$

2. Régularité $\mathcal{C$^1.} Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec :
   $$f_n'(x) = \frac{-2x}{(x^2+n^2)^2}$$
   Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [-a, a]$, on a $|f_n'(x)| \leq \frac{2a}{n^4}$. La série $\sum f_n'$ converge donc normalement sur tout segment $[-a, a]$. Par le théorème de dérivation des séries de fonctions, $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et :
   $$\boxed{ S'(x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{(x^2+n^2)^2} }$$

3. Caractère lipschitzien. Cherchons à montrer que $S'$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Utilisons l'inégalité classique $2|x|n \leq x^2+n^2$. Pour $x \in \mathbb{R}$ et $n \geq 1$ :
   $$|f_n'(x)| = \frac{2|x|}{(x^2+n^2)^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2|x|n}{(x^2+n^2)^2} \leq \frac{1}{n} \cdot \frac{x^2+n^2}{(x^2+n^2)^2} = \frac{1}{n(x^2+n^2)} \leq \frac{1}{n^3}$$
   Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
   $$|S'(x)| \leq \sum_{n=1}^{+\infty} |f_n'(x)| \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3} = \zeta(3)$$
   $S'$ est bornée sur $\mathbb{R}$, donc par l'inégalité des accroissements finis :
   $$\boxed{ S \text{ est lipschitzienne sur } \mathbb{R} }$$

4. Équivalent en $+\infty$. Soit $x > 0$. La fonction $t \mapsto \frac{1}{x^2+t^2}$ est continue, positive et décroissante sur $[0, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{x^2+t^2} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{x^2+n^2} \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{x^2+t^2}$$
   Calculons l'intégrale de référence :
   $$I(x) = \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{x^2+t^2} = \left[ \frac{1}{x} \arctan\left(\frac{t}{x}\right) \right]_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2x}$$
   D'autre part :
   $$\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{x^2+t^2} = \frac{\pi}{2x} - \frac{1}{x} \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$$
   Comme $\arctan(1/x) \sim_{+\infty} 1/x$, on a $\frac{1}{x} \arctan(1/x) = o(1/x)$. Donc :
   $$\frac{\pi}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \leq S(x) \leq \frac{\pi}{2x}$$
   Par le théorème des gendarmes, on en déduit :
   $$\boxed{ S(x) \sim_{+\infty} \frac{\pi}{2x} }$$