Étude d'une série de logarithmes

Résolution.

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1[$, on pose $u_n(x) = \ln(1+x^n)$. Soit $a \in [0, 1[$. Pour tout $x \in [0, a]$, on a par croissance du logarithme et de la fonction $t \mapsto t^n$ sur $\mathbb{R}^+$ :
   $$0 \leq u_n(x) \leq \ln(1+a^n)$$
   Or, au voisinage de $0$, on sait que $\ln(1+u) \sim u$. Comme $0 \le a < 1$, la série géométrique $\sum a^n$ converge. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \ln(1+a^n)$ converge. Ainsi :
   $$\boxed{ \|u_n\|_{\infty, [0, a]} = \ln(1+a^n) }$$
   La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc normalement sur tout segment $[0, a] \subset [0, 1[$. Comme chaque fonction $u_n$ est continue sur $[0, 1[$, la convergence uniforme sur tout segment garantit que :
   $$\boxed{ f \text{ est continue sur } [0, 1[ }$$

2. Étudions la convergence normale sur l'intervalle $[0, 1[$ tout entier. Pour chaque $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $u_n$ est croissante sur $[0, 1[$. On en déduit sa borne supérieure :
   $$\sup_{x \in [0, 1[} |u_n(x)| = \lim_{x \to 1^-} \ln(1+x^n) = \ln(2)$$
   La série $\sum \ln(2)$ est une série dont le terme général ne tend pas vers $0$, elle diverge donc grossièrement. On en conclut que :
   $$\boxed{ \text{La série } \sum u_n \text{ ne converge pas normalement sur } [0, 1[ }$$

3. La fonction $f$ est la somme d'une série de fonctions croissantes sur $[0, 1[$, elle est donc elle-même croissante sur cet intervalle. D'après le théorème de la limite monotone, $f$ admet une limite $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ en $1^-$. Pour tout $x \in [0, 1[$ et pour tout entier $N \ge 1$, on a la minoration suivante par les premières sommes partielles :
   $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1+x^n) \geq \sum_{n=1}^{N} \ln(1+x^n)$$
   Par conservation des inégalités par passage à la limite quand $x \to 1^-$, on obtient pour tout $N$ fixé :
   $$L \geq \sum_{n=1}^{N} \ln(1+1^n) = \sum_{n=1}^{N} \ln(2) = N \ln(2)$$
   Cette inégalité $L \geq N \ln(2)$ étant vraie pour tout entier $N$, on en déduit par passage à la limite sur $N$ que $L = +\infty$. Finalement :
   $$\boxed{ \lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty }$$