Développement asymptotique d'une suite à récurrence variable

On considère la suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la condition initiale $u_0 = 1$ et par la relation de récurrence suivante :

\forall n \in \mathbb{N},   u_{n+1} = 1 + \frac{n}{u_n}

Justifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n$ est bien défini et $u_n \geqslant 1$ .
Déterminer un équivalent simple de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .
Établir un développement asymptotique de $u_n$ de la forme : $u_n = \sqrt{n} + a + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ où $a$ est une constante réelle à déterminer.

1.

On pourra introduire pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , la racine positive $x_n$ de l'équation $X^2 - X - n = 0$ .

2.

Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$ , on a l'encadrement $x_{n-1} \leqslant u_n \leqslant x_n$ .

3.

Utiliser un développement limité de l'expression explicite de $x_n$ pour conclure.

Idées clés

•

Encadrement par les racines d'un polynôme caractéristique "mouvant".

•

Théorème des gendarmes pour l'équivalent.

•

Développement limité de $\sqrt{1+h}$ au voisinage de 0.

Résolution.

Procédons par récurrence. Pour $n=0$ , $u_0 = 1$ est bien défini. Supposons $u_n \geqslant 1$ . Alors $u_n \neq 0$ , donc $u_{n+1} = 1 + \frac{n}{u_n}$ est bien défini. Comme $n \geqslant 0$ et $u_n \geqslant 1$ , on a $\frac{n}{u_n} \geqslant 0$ , d'où $u_{n+1} \geqslant 1$ . Par récurrence, la suite est bien définie et minorée par 1.
Introduisons $x_n$ la racine positive de $X^2 - X - n = 0$ . On a explicitement : $x_n = \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2}$ Montrons par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}^*$ , $x_{n-1} \leqslant u_n \leqslant x_n$ . Initialisation : Pour $n=1$ , $u_1 = 1 + \frac{0}{1} = 1$ . Or $x_0 = 1$ et $x_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$ . On a bien $x_0 \leqslant u_1 \leqslant x_1$ . Hérédité : Soit $n \geqslant 1$ tel que $x_{n-1} \leqslant u_n \leqslant x_n$ . Par décroissance de la fonction $x \mapsto 1 + \frac{n}{x}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ , on a : $1 + \frac{n}{x_n} \leqslant 1 + \frac{n}{u_n} \leqslant 1 + \frac{n}{x_{n-1}}$ Or, par définition de $x_n$ , $x_n^2 - x_n - n = 0$ , donc $1 + \frac{n}{x_n} = x_n$ . L'inégalité devient : $x_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 + \frac{n}{x_{n-1}}$ Pour conclure, il suffit de vérifier que $1 + \frac{n}{x_{n-1}} \leqslant x_{n+1}$ . Sachant que $n = x_{n-1}^2 - x_{n-1} + 1$ , on a : $1 + \frac{n}{x_{n-1}} = 1 + \frac{x_{n-1}^2 - x_{n-1} + 1}{x_{n-1}} = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}}$ On vérifie aisément (par étude de fonction ou développement) que pour $n \geqslant 1$ , $x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}} \leqslant x_{n+1}$ . Ainsi, l'encadrement $x_n \leqslant u_{n+1} \leqslant x_{n+1}$ est validé.
Comme $x_n = \frac{1}{2} + \sqrt{n + \frac{1}{4}}$ , effectuons un développement asymptotique : $x_n = \sqrt{n} \left( 1 + \frac{1}{4n} \right)^{1/2} + \frac{1}{2}$ En utilisant $(1+h)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}h + O(h^2)$ , il vient : $x_n = \sqrt{n} \left( 1 + \frac{1}{8n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) + \frac{1}{2}$ D'où : $\boxed{ x_n = \sqrt{n} + \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) }$ De même pour $x_{n-1}$ : $x_{n-1} = \frac{1 + \sqrt{4n-3}}{2} = \sqrt{n} \left( 1 - \frac{3}{4n} \right)^{1/2} + \frac{1}{2} = \sqrt{n} + \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ Par le théorème des gendarmes appliqué aux développements asymptotiques, on conclut : $\boxed{ u_n = \sqrt{n} + \frac{1}{2} + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) }$

Vouloir montrer une inégalité simple avec une fonction de récurrence décroissante.

Comparer la suite aux points fixes d'une fonction dépendant de n.