Comportement asymptotique d'une série de fonctions

On considère la fonction $f$ définie par la série de fonctions suivante :

f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{x+n}

Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$ .
Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
Étudier le comportement de $f$ aux bornes de son domaine de définition en fournissant un équivalent simple dans chaque cas.

1.

Pour le domaine de définition, étudier la convergence simple de la série pour $x < 0$ , $x = 0$ et $x > 0$ .

2.

Pour la continuité, utiliser la convergence normale sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

3.

Pour l'équivalent en $+\infty$ , isoler le premier terme de la série et majorer le reste.

4.

Pour l'équivalent en $0^+$ , comparer la somme à une intégrale bien choisie.

Idées clés

•

Convergence normale pour la régularité.

•

Domination du premier terme pour les limites à l'infini.

•

Comparaison série-intégrale pour les comportements de type divergence.

1. Détermination du domaine de définition.

Soit $u_n(x) = \frac{e^{-nx}}{x+n}$ pour $n \geq 1$ .

Si $x > 0$ , alors $e^{-nx}$ est le terme général d'une série géométrique convergente. Comme $0 \leq u_n(x) \leq e^{-nx}$ pour tout $n \geq 1$ , la série converge simplement.

Si $x = 0$ , $u_n(0) = \frac{1}{n}$ . La série $\sum \frac{1}{n}$ est une série de Riemann divergente.

Si $x < 0$ , posons $y = -x > 0$ . On a $u_n(x) = \frac{e^{ny}}{n-y}$ . Comme $u_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$ , la série diverge grossièrement.

L'ensemble de définition est donc :

\boxed{ \mathcal{D}_f = ]0, +\infty[ }

2. Continuité de la fonction $f$ .

Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a l'estimation suivante :

0 \leq u_n(x) = \frac{e^{-nx}}{x+n} \leq \frac{e^{-na}}{a+n} \leq e^{-na}

La série géométrique $\sum e^{-na}$ converge puisque $0 < e^{-a} < 1$ .

Ainsi, la série de fonctions converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle $[a, +\infty[$ .

Comme chaque fonction $u_n$ est continue sur $]0, +\infty[$ , $f$ est continue sur chaque $[a, +\infty[$ .

On en conclut que :

\boxed{ f \text{ est continue sur } ]0, +\infty[ }

3. Étude des équivalents aux bornes.

Cas $x \to +\infty$ :

Isolons le premier terme de la somme :

f(x) = \frac{e^{-x}}{x+1} + \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{x+n}

Notons $R(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{x+n}$ . On peut majorer $R(x)$ pour $x > 0$ :

0 \leq R(x) \leq \sum_{n=2}^{+\infty} (e^{-x})^n = \frac{e^{-2x}}{1-e^{-x}}

On observe que $\frac{e^{-2x}}{1-e^{-x}} = o\left( \frac{e^{-x}}{x+1} \right)$ quand $x \to +\infty$ .

Par conséquent, $f(x) \sim \frac{e^{-x}}{x+1}$ au voisinage de $+\infty$ . Comme $x+1 \sim x$ , on obtient :

\boxed{ f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{e^{-x}}{x} }

Cas $x \to 0^+$ :

Pour $x$ fixé, la fonction $t \mapsto \frac{e^{-xt}}{x+t}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$ . Par comparaison série-intégrale, on a :

\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t} dt \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{x+n} \leq \frac{e^{-x}}{x+1} + \int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t} dt

Calculons l'intégrale $I(x) = \int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t} dt$ . Effectuons le changement de variable $u = x(x+t)$ , d'où $du = x dt$ et $t = \frac{u}{x} - x$ .

I(x) = \int_{x(x+1)}^{+\infty} \frac{e^{-(u-x^2)}}{u/x} \frac{du}{x} = e^{x^2} \int_{x^2+x}^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u} du

Quand $x \to 0^+$ , la borne inférieure $x^2+x$ tend vers $0$ . On sait que $\int_{v}^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u} du \sim -\ln(v)$ quand $v \to 0^+$ .

Ainsi, $I(x) \sim -\ln(x^2+x) \sim -\ln(x)$ . Comme le terme $\frac{e^{-x}}{x+1}$ tend vers $1$ , il est négligeable devant $\ln(x)$ .

On conclut finalement :

\boxed{ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\ln(x) }

Vouloir démontrer la convergence normale sur l'intervalle ouvert complet.

Utilisation de la comparaison série-intégrale pour les équivalents aux bornes.