Limite d'une série par comparaison intégrale

On considère, pour tout réel $x > 0$ , la somme suivante :

S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n x}{(n^{2}+x)^{2}}

Déterminer la limite de $S(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

1.

Introduire la fonction $f_x : t \mapsto \frac{xt}{(t^2+x)^2}$ pour $t \in [0, +\infty[$ .

2.

Étudier les variations de $f_x$ pour justifier l'utilisation d'une comparaison série-intégrale. On pourra noter $t_x$ le point où $f_x$ atteint son maximum.

3.

Calculer l'intégrale $I(x) = \int_0^{+\infty} f_x(t) \mathrm{d}t$ et montrer qu'elle est constante.

4.

Encadrer la différence $|S(x) - I(x)|$ en utilisant le caractère unimodal (croissant puis décroissant) de $f_x$ .

Idées clés

•

Comparaison entre une somme et une intégrale pour une fonction non monotone.

•

Utilisation de la convergence de l'intégrale et de la décroissance de la fonction après son maximum.

•

Encadrement par la valeur maximale de la fonction (variation totale).

1. Étude de la fonction auxiliaire.

Pour $x > 0$ fixé, on définit la fonction $f_x$ sur $[0, +\infty[$ par :

f_x(t) = \frac{xt}{(t^2+x)^2}

Cette fonction est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $[0, +\infty[$ . Sa dérivée est donnée par :

f_x'(t) = x \cdot \frac{(t^2+x)^2 - t \cdot 2(t^2+x) \cdot 2t}{(t^2+x)^4} = x \cdot \frac{t^2+x-4t^2}{(t^2+x)^3} = \frac{x(x-3t^2)}{(t^2+x)^3}

On observe que $f_x'(t)$ s'annule en $t_x = \sqrt{\frac{x}{3}}$ .

$f_x$ est croissante sur $[0, t_x]$ .
$f_x$ est décroissante sur $[t_x, +\infty[$ .

2. Calcul de l'intégrale.

L'intégrale $I(x) = \int_0^{+\infty} f_x(t) \mathrm{d}t$ converge car $f_x(t) \sim \frac{x}{t^3}$ au voisinage de $+\infty$ . Par le changement de variable $u = t^2$ ( $du = 2t dt$ ), on obtient :

I(x) = \frac{x}{2} \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{(u+x)^2}

On calcule la primitive :

I(x) = \frac{x}{2} \left[ -\frac{1}{u+x} \right]_0^{+\infty} = \frac{x}{2} \left( 0 - \left(-\frac{1}{x}\right) \right)

On en déduit la valeur de l'intégrale :

\boxed{ I(x) = \frac{1}{2} }

3. Comparaison série-intégrale.

La fonction $f_x$ est monotone sur chaque intervalle ne contenant pas $t_x$ . Soit $N = \lfloor t_x \rfloor$ l'entier tel que $N \leq t_x < N+1$ .

Pour tout $n > t_x$ , $f_x$ est décroissante sur $[n, n+1]$ , donc :

f_x(n+1) \leq \int_n^{n+1} f_x(t)   \mathrm{d}t \leq f_x(n)

En sommant pour $n$ allant de $N+1$ à $+\infty$ , on obtient :

\sum_{n=N+2}^{+\infty} f_x(n) \leq \int_{N+1}^{+\infty} f_x(t)   \mathrm{d}t \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} f_x(n)

De même, sur $[0, N]$ , la fonction $f_x$ est croissante. Par un raisonnement analogue sur les sommes finies et les intégrales, on montre que l'écart entre la somme et l'intégrale est contrôlé par les valeurs extrêmes.

De manière plus générale, pour une fonction unimodale (croissante puis décroissante), la différence entre la somme et l'intégrale est majorée par :

|S(x) - I(x)| \leq 2 \max_{t \in \mathbb{R}^+} f_x(t)

Calculons la valeur maximale de $f_x$ :

f_x(t_x) = f_x\left(\sqrt{\frac{x}{3}}\right) = \frac{x \sqrt{x/3}}{(x/3 + x)^2} = \frac{x^{3/2} / \sqrt{3}}{(4x/3)^2} = \frac{x^{3/2} / \sqrt{3}}{16x^2 / 9}

En simplifiant, on trouve :

\boxed{ f_x(t_x) = \frac{3\sqrt{3}}{16\sqrt{x}} }

4. Conclusion sur la limite.

On a donc l'encadrement suivant :

\left| S(x) - \frac{1}{2} \right| \leq \frac{3\sqrt{3}}{8\sqrt{x}}

Or, par croissance comparée ou calcul direct :

\lim_{x \to +\infty} \frac{3\sqrt{3}}{8\sqrt{x}} = 0

Par le théorème des gendarmes, on conclut :

\boxed{ \lim_{x \to +\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n x}{(n^{2}+x)^{2}} = \frac{1}{2} }

Utiliser la comparaison série-intégrale sans découper l'intervalle de monotonie.

Majoration de l'écart somme-intégrale par la variation totale de la fonction.