Équivalent d'une série lacunaire

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0, 1[$ par la somme de la série suivante :

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n^2}

L'objectif de cet exercice est de déterminer un équivalent de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures.

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $[0, 1[$ .
Soit $x \in ]0, 1[$ . En utilisant une comparaison avec une intégrale, établir l'encadrement suivant : $\int_{0}^{+\infty} x^{t^2} dt \leq f(x) \leq 1 + \int_{0}^{+\infty} x^{t^2} dt$
On rappelle que $\int_{0}^{+\infty} e^{-u^2} du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ . Calculer la valeur de l'intégrale $I(x) = \int_{0}^{+\infty} x^{t^2} dt$ en fonction de $x$ .
En déduire que : $f(x) \underset{x \to 1^-}{\sim} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{1-x}}$

1.

Pour la question 2, on pourra considérer la fonction $g : t \mapsto x^{t^2}$ et vérifier sa monotonie sur $[0, +\infty[$ .

2.

Pour la question 3, effectuer le changement de variable $u = t \sqrt{-\ln x}$ après avoir écrit $x^{t^2}$ sous forme exponentielle.

3.

Pour la question 4, utiliser un équivalent classique de la fonction logarithme au voisinage de $1$ .

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale pour une fonction décroissante.

•

Calcul d'une intégrale paramétrée par changement de variable.

•

Relation entre équivalents de fonctions composées.

Résolution.

Soit $x \in [0, 1[$ . Si $x=0$ , la somme est égale à $1$ (seul le terme $n=0$ est non nul). Si $x \in ]0, 1[$ , on a $n^2 \geq n$ pour tout $n \geq 1$ , donc $0 \leq x^{n^2} \leq x^n$ . Comme la série géométrique $\sum x^n$ converge pour $|x| < 1$ , par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum x^{n^2}$ converge. $\boxed{ f \text{ est bien définie sur } [0, 1[ }$
Fixons $x \in ]0, 1[$ et posons $g(t) = x^{t^2} = \exp(t^2 \ln x)$ . Puisque $\ln x < 0$ , la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0, +\infty[$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \in [n, n+1]$ , on a par décroissance : $g(n+1) \leq g(t) \leq g(n)$ En intégrant cette inégalité sur l'intervalle $[n, n+1]$ , il vient : $g(n+1) \leq \int_{n}^{n+1} g(t) dt \leq g(n)$ En sommant de $n=0$ à $N$ , on obtient : $\sum_{n=1}^{N+1} g(n) \leq \int_{0}^{N+1} g(t) dt \leq \sum_{n=0}^{N} g(n)$ En faisant tendre $N$ vers $+\infty$ , l'intégrale converge (car $g(t) = e^{-| \ln x | t^2}$ est intégrable en $+\infty$ ) et on obtient : $f(x) - g(0) \leq \int_{0}^{+\infty} g(t) dt \leq f(x)$ Comme $g(0) = x^0 = 1$ , on en déduit l'encadrement souhaité : $\boxed{ \int_{0}^{+\infty} x^{t^2} dt \leq f(x) \leq 1 + \int_{0}^{+\infty} x^{t^2} dt }$
Calculons $I(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{t^2 \ln x} dt$ . Posons le changement de variable $u = t \sqrt{-\ln x}$ . Comme $x \in ]0, 1[$ , on a $-\ln x > 0$ , donc la racine est bien définie. On a alors $dt = \frac{du}{\sqrt{-\ln x}}$ . L'intégrale devient : $I(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-u^2} \frac{du}{\sqrt{-\ln x}}$ En utilisant la valeur de l'intégrale de Gauss fournie : $\boxed{ I(x) = \frac{1}{\sqrt{-\ln x}} \frac{\sqrt{\pi}}{2} }$
On sait que lorsque $x \to 1^-$ , $-\ln x = -\ln(1 - (1-x)) \sim 1-x$ . Par conséquent : $I(x) \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{1-x}}$ Comme $\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} = 0$ , on a $\lim_{x \to 1^-} I(x) = +\infty$ . D'après l'encadrement de la question 2 : $1 \leq \frac{f(x)}{I(x)} \leq 1 + \frac{1}{I(x)}$ Par le théorème des gendarmes, $\frac{f(x)}{I(x)} \xrightarrow[x \to 1^-]{} 1$ , donc $f(x) \sim I(x)$ . En remplaçant par l'équivalent de $I(x)$ , on conclut : $\boxed{ f(x) \underset{x \to 1^-}{\sim} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{1-x}} }$

Vérifier la monotonie de la fonction avant d'utiliser la comparaison série-intégrale.

La méthode de comparaison intégrale est privilégiée pour obtenir un équivalent d'une série dont le terme général dépend d'un paramètre tendant vers une borne critique.