Étude d'une série de fonctions exponentielles

Soit $S$ la fonction définie par la somme de la série de fonctions suivante :

S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-x \sqrt{n}}

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $S$ . Étudier ensuite sa monotonie ainsi que sa continuité sur cet ensemble.
Déterminer les limites de $S$ en $0^{+}$ et en $+\infty$ , ainsi qu'un équivalent simple de $S(x)$ en chacun de ces points.

1.

Pour le domaine de définition, utiliser la règle de Riemann ou une comparaison avec une série de référence pour $x > 0$ .

2.

Pour la continuité, établir la convergence normale de la série sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

3.

Pour l'équivalent en $+\infty$ , factoriser par le terme prépondérant de la série.

4.

Pour l'équivalent en $0^+$ , procéder à une comparaison série-intégrale en utilisant la décroissance de la fonction sous-jacente.

Idées clés

•

Convergence normale pour la continuité.

•

Théorème de la limite d'une série de fonctions.

•

Comparaison série-intégrale pour les équivalents par sommation.

Résolution.

Domaine de définition : Soit $x \in \mathbb{R}$ . Notons $f_n(x) = e^{-x \sqrt{n}}$ pour $n \geq 1$ . - Si $x > 0$ , alors $\sqrt{n}^2 f_n(x) = n e^{-x\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ par croissance comparée. Ainsi, $f_n(x) = o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ , ce qui assure la convergence de la série. - Si $x \le 0$ , alors $f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \in \{1, +\infty\}$ . La série diverge grossièrement. $\boxed{D_S = ]0, +\infty[}$ Monotonie : Chaque fonction $f_n : x \mapsto e^{-x \sqrt{n}}$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ . Comme somme de fonctions strictement décroissantes, $S$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ . Continuité : Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a : $|f_n(x)| = e^{-x \sqrt{n}} \leq e^{-a \sqrt{n}}$ La série numérique $\sum e^{-a \sqrt{n}}$ converge (par le même argument que précédemment). La série de fonctions $\sum f_n$ converge donc normalement, et a fortiori uniformément, sur tout intervalle $[a, +\infty[$ . Comme chaque $f_n$ est continue sur $]0, +\infty[$ , par théorème de continuité des séries de fonctions : $\boxed{S \text{ est continue sur } ]0, +\infty[}$
Étude en $+\infty$ : On peut écrire : $S(x) = e^{-x} \left( 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} e^{-x(\sqrt{n}-1)} \right)$ Posons $g_n(x) = e^{-x(\sqrt{n}-1)}$ pour $n \geq 2$ . Pour $x \geq 1$ , on a $g_n(x) \leq e^{-(\sqrt{n}-1)}$ . La série $\sum_{n \ge 2} g_n$ converge normalement sur $[1, +\infty[$ . De plus, $\lim_{x \to +\infty} g_n(x) = 0$ pour chaque $n \geq 2$ . Par le théorème d'interversion limite-somme : $\lim_{x \to +\infty} \sum_{n=2}^{+\infty} g_n(x) = 0$ D'où : $\boxed{S(x) \sim_{+\infty} e^{-x}} \text{et} \boxed{\lim_{x \to +\infty} S(x) = 0}$ Étude en $0^{+$ $0^{+}$ :} La fonction $t \mapsto e^{-x\sqrt{t}}$ est décroissante sur $[0, +\infty[$ pour $x > 0$ . Par comparaison série-intégrale, on a : $\int_1^{+\infty} e^{-x \sqrt{t}} dt \leq S(x) \leq e^{-x} + \int_1^{+\infty} e^{-x \sqrt{t}} dt$ Calculons l'intégrale $I(x) = \int_1^{+\infty} e^{-x \sqrt{t}} dt$ en posant le changement de variable $u = x \sqrt{t}$ . Alors $t = \frac{u^2}{x^2}$ et $dt = \frac{2u}{x^2} du$ . $I(x) = \int_x^{+\infty} e^{-u} \frac{2u}{x^2} du = \frac{2}{x^2} \int_x^{+\infty} u e^{-u} du$ Quand $x \to 0^+$ , l'intégrale $\int_x^{+\infty} u e^{-u} du$ tend vers $\Gamma(2) = 1$ . Ainsi, $I(x) \sim_{0^+} \frac{2}{x^2}$ . Puisque $e^{-x} = o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ , on en déduit : $\boxed{S(x) \sim_{0^+} \frac{2}{x^2}} \text{et} \boxed{\lim_{x \to 0^+} S(x) = +\infty}$

Convergence uniforme globale sur l'intervalle ouvert.

Utilisation de la comparaison série-intégrale pour les équivalents de sommes.