Série de fonctions et comparaison intégrale

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x \in ]-1, +\infty[$. Pour tout $n \geq 1$, on a $n+x > 0$, donc $u_n(x)$ est bien défini. Au voisinage de $+\infty$ (par rapport à $n$), on a :
   $$u_n(x) \sim \frac{1}{n^{3/2}}$$
   Comme $\frac{3}{2} > 1$, la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge. Par comparaison, la série $\sum u_n(x)$ converge simplement sur $I$.
   $$\boxed{ S \text{ est définie sur } ]-1, +\infty[ }$$

2. Régularité de $S$. Soit $a > -1$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a $n+x \geq n+a$. Comme la fonction $t \mapsto t^{3/2} + t^{1/2}$ est croissante sur $\mathbb{R}^{+*}$, on a :
   $$\forall x \in [a, +\infty[,   |u_n(x)| \leq \frac{1}{(n+a)^{3/2} + (n+a)^{1/2}}$$
   Le terme de droite est le terme général d'une série numérique convergente (équivalent à $n^{-3/2}$). Ainsi, $\sum u_n$ converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$. Les fonctions $u_n$ étant continues, $S$ est continue sur $I$. Calculons la dérivée $u_n'(x)$ :
   $$u_n'(x) = - \frac{\frac{3}{2}(n+x)^{1/2} + \frac{1}{2}(n+x)^{-1/2}}{((n+x)^{3/2} + (n+x)^{1/2})^2}$$
   En simplifiant par $(n+x)^{1/2}$ au numérateur et en factorisant au dénominateur :
   $$u_n'(x) = - \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{2(n+x)}}{(n+x)((n+x) + 1)^2} \sim - \frac{3}{2n^{3}}$$
   Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a une majoration de $|u_n'(x)|$ par une série de Riemann convergente. La série des dérivées $\sum u_n'$ converge donc normalement sur tout segment inclus dans $I$.
   $$\boxed{ S \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } ]-1, +\infty[ }$$

3. Étude en $-1$.
   1. Analyse de l'équivalent. On décompose la somme : $S(x) = u_1(x) + \sum_{n=2}^{+\infty} u_n(x)$. Pour $x \in ]-1, 0]$, la fonction $R(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} u_n(x)$ est continue en $-1$ car la série converge normalement sur $[-1, 0]$. En effet, pour $n \geq 2$ et $x \in [-1, 0]$, $|u_n(x)| \leq u_n(-1) = \frac{1}{(n-1)^{3/2} + (n-1)^{1/2}}$. Ainsi, $R(x) \xrightarrow[x \to -1]{} R(-1) \in \mathbb{R}$. Cependant, $u_1(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1+x+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(x+2)}$. Quand $x \to -1$, $u_1(x) \sim \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, qui tend vers $+\infty$. Le terme $u_1(x)$ est donc prépondérant.
      $$\boxed{ S(x) \underset{x \to -1^+}{\sim} \frac{1}{\sqrt{x+1}} }$$

   2. Intégrabilité. $S$ est continue sur $]-1, 0]$. D'après l'équivalent précédent :
      $$|S(x)| \sim \frac{1}{(x+1)^{1/2}}$$
      Il s'agit d'une fonction de Riemann de la forme $\frac{1}{(x-a)^{\alpha}}$ avec $\alpha = 1/2 < 1$.
      $$\boxed{ S \text{ est intégrable sur } ]-1, 0] }$$

4. Limite en $+\infty$. Pour tout $n \geq 1$, $\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = 0$. De plus, nous avons montré la convergence uniforme de la série sur $[0, +\infty[$. D'après le théorème d'interversion limite-somme :
   $$\lim_{x \to +\infty} S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} u_n(x) = 0$$
   $$\boxed{ \lim_{x \to +\infty} S(x) = 0 }$$

5. Équivalent en $+\infty$. La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{(t+x)^{3/2} + (t+x)^{1/2}}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{(t+x)^{3/2} + (t+x)^{1/2}} \leq S(x) \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{(t+x)^{3/2} + (t+x)^{1/2}}$$
   Posons $u = t+x$, alors $dt = du$. L'intégrale de droite devient :
   $$J(x) = \int_{x}^{+\infty} \frac{du}{u^{3/2} + u^{1/2}}$$
   Comme $u^{3/2} + u^{1/2} \sim u^{3/2}$ au voisinage de $+\infty$, on cherche un équivalent de cette intégrale convergente.
   $$J(x) \sim \int_{x}^{+\infty} \frac{du}{u^{3/2}} = \left[ -2u^{-1/2} \right]_{x}^{+\infty} = \frac{2}{\sqrt{x}}$$
   L'intégrale de gauche suit le même comportement car la différence est l'intégrale sur un segment fixe $[0,1]$ qui est négligeable devant $x^{-1/2}$. Ainsi, $S(x) \sim \frac{2}{\sqrt{x}}$. On identifie $a = 2$ et $b = 1/2$.
   $$\boxed{ S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{2}{\sqrt{x}} }$$