Étude d'une série de fonctions logarithmiques

Résolution.

1. Soit $x \in \mathbb{R}$. Le terme $u_n(x) = -\ln(1 - e^{-nx})$ est défini si et seulement si $1 - e^{-nx} > 0$, soit $e^{-nx} < 1$. Pour $n \ge 1$, cela impose $nx > 0$, donc $x > 0$. Pour $x > 0$ fixé, on a $\lim_{n \to +\infty} e^{-nx} = 0$. Par développement limité du logarithme :
   $$u_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} e^{-nx}$$
   La série $\sum e^{-nx}$ est une série géométrique de raison $e^{-x} \in ]0, 1[$, elle converge donc. Par comparaison de séries à termes positifs, la série définissant $f(x)$ converge.
   $$\boxed{D_f = ]0, +\infty[}$$

2. 1. Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, la fonction $t \mapsto e^{-nt}$ est décroissante, donc $t \mapsto 1 - e^{-nt}$ est croissante, et par suite $u_n$ est décroissante sur $]0, +\infty[$. Ainsi, pour tout $x \ge a$ et tout $n \ge 1$ :
      $$|u_n(x)| = u_n(x) \le u_n(a)$$
      D'après la question 1, la série numérique $\sum u_n(a)$ converge. La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc normalement, et par suite uniformément, sur tout intervalle $[a, +\infty[$.
      $$\boxed{\text{Convergence uniforme sur } [a, +\infty[ \text{ pour tout } a > 0}$$

   2. Supposons que la série converge uniformément sur $]0, +\infty[$. Alors, d'après le théorème de la double limite, comme chaque fonction $u_n$ admet une limite (éventuellement infinie) en $0^+$, la fonction $f$ devrait avoir une limite finie en $0^+$ si les limites individuelles étaient finies et leur série convergente. Or, pour tout $n \ge 1$, $\lim_{x \to 0^1} u_n(x) = +\infty$. Plus simplement, si la série convergeait uniformément, le terme général $u_n(x)$ devrait tendre vers $0$ uniformément sur $]0, +\infty[$. Cependant, pour tout $n \ge 1$, $\sup_{x \in ]0, +\infty[} |u_n(x)| = +\infty$.
      $$\boxed{\text{Il n'y a pas convergence uniforme sur } ]0, +\infty[}$$

3. 1. Pour $x \to +\infty$, on a $u_1(x) = -\ln(1 - e^{-x}) \sim e^{-x}$. Étudions le reste $R(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} u_n(x)$. Pour $x$ assez grand ($x \ge 1$), on a :
      $$0 \le u_n(x) \le \frac{e^{-nx}}{1 - e^{-nx}} \le \frac{e^{-nx}}{1 - e^{-2}}$$
      En sommant pour $n \ge 2$, on obtient $R(x) = O(e^{-2x})$. D'où $f(x) = e^{-x} + O(e^{-2x})$.
      $$\boxed{f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} e^{-x}}$$

   2. Pour $x \to 0^+$, la fonction $t \mapsto -\ln(1 - e^{-tx})$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
      $$\int_1^{+\infty} -\ln(1 - e^{-tx}) dt \le \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) \le \int_0^{+\infty} -\ln(1 - e^{-tx}) dt$$
      Effectuons le changement de variable $u = tx$, $du = x dt$ dans l'intégrale de droite :
      $$I(x) = \int_0^{+\infty} -\ln(1 - e^{-tx}) dt = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} -\ln(1 - e^{-u}) du$$
      L'intégrale $J = \int_0^{+\infty} -\ln(1 - e^{-u}) du$ converge (en 0 par équivalence avec $-\ln(u)$, en $+\infty$ par équivalence avec $e^{-u}$). En développant en série entière : $-\ln(1 - e^{-u}) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{-ku}}{k}$. Par intégration terme à terme (fonctions positives) :
      $$J = \sum_{k=1}^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-ku}}{k} du = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$$
      Ainsi $I(x) = \frac{\pi^2}{6x}$. Un raisonnement similaire sur l'intégrale de gauche montre que l'écart est négligeable devant $1/x$.
      $$\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{\pi^2}{6x}}$$