Série de fonctions logarithmiques alternée

Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ , on considère la fonction $u_n$ définie par :

u_n(x) = (-1)^n \ln\left(1 + \frac{x^2 - 1}{n(x^2 + 2)}\right)

Déterminer le domaine de définition $D_S$ de la fonction somme $S : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ .
Étudier la continuité de la fonction $S$ sur $D_S$ .
Déterminer la limite de $S(x)$ lorsque $x$ tend vers $\pm \infty$ .

1.

Pour le domaine de définition, vérifier d'abord que chaque $u_n$ est bien définie, puis utiliser le critère spécial des séries alternées (CSSA) pour la convergence de la série.

2.

Pour la continuité, montrer la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ en utilisant la majoration du reste d'une série alternée.

3.

Pour la limite en l'infini, justifier l'interversion limite-somme. La somme numérique obtenue peut être calculée en utilisant des produits partiels et l'équivalent de Stirling ou les intégrales de Wallis.

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA) pour la convergence simple et uniforme.

•

Théorème de continuité des séries de fonctions.

•

Théorème d'interversion limite-somme.

•

Formule de Stirling pour le calcul de la somme finale.

1. Domaine de définition.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$ . Posons $v_n(x) = \frac{x^2 - 1}{n(x^2 + 2)}$ . Pour que $u_n(x)$ soit défini, il faut que $1 + v_n(x) > 0$ . Or :

1 + \frac{x^2 - 1}{n(x^2 + 2)} = \frac{n(x^2 + 2) + x^2 - 1}{n(x^2 + 2)} = \frac{(n+1)x^2 + 2n - 1}{n(x^2 + 2)}

Comme $n \geq 1$ , on a $2n - 1 \geq 1$ , donc le numérateur est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Ainsi, chaque fonction $u_n$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ .

Étudions la convergence de la série $\sum u_n(x)$ à $x$ fixé. Si $x^2 = 1$ , alors $u_n(x) = 0$ , la série converge. Si $x^2 \neq 1$ , effectuons un développement limité quand $n \to +\infty$ :

u_n(x) = (-1)^n \left( \frac{x^2 - 1}{n(x^2 + 2)} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = \frac{x^2-1}{x^2+2} \frac{(-1)^n}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)

La série $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge par le CSSA et la série des restes en $O(1/n^2)$ converge absolument. On en déduit que la série converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

\boxed{D_S = \mathbb{R}}

2. Étude de la continuité.

Notons $a(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2}$ . On remarque que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $-1/2 \leq a(x) < 1$ . $u_n(x) = (-1)^n \ln(1 + \frac{a(x)}{n})$ .

Premier cas : $x^2 \geq 1$ , soit $a(x) \in [0, 1[$ . Pour tout $n \geq 1$ , la suite $(|u_n(x)|)_{n \geq 1} = (\ln(1 + \frac{a(x)}{n}))_{n \geq 1}$ est positive, décroissante et tend vers 0. D'après le CSSA, le reste $R_n(x)$ vérifie :

|R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)| \leq \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)

Second cas : $x^2 < 1$ , soit $a(x) \in [-1/2, 0[$ . On a $|u_n(x)| = |\ln(1 + \frac{a(x)}{n})| = -\ln(1 + \frac{a(x)}{n})$ . La fonction $t \mapsto -\ln(1+t)$ étant décroissante sur $]-1, 0]$ , et $n \mapsto \frac{a(x)}{n}$ étant croissante vers 0, la suite $(|u_n(x)|)$ est décroissante vers 0. Le CSSA s'applique encore :

|R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)| = \left| \ln\left(1 + \frac{a(x)}{n+1}\right) \right| \leq \left| \ln\left(1 - \frac{1}{2(n+1)}\right) \right|

Dans les deux cas, le reste $R_n$ est majoré par une suite indépendante de $x$ qui tend vers 0. La série de fonctions converge donc uniformément sur $\mathbb{R}$ . Comme chaque $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ , la somme $S$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

\boxed{S \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})}

3. Calcul de la limite en l'infini.

Puisque la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$ , nous pouvons intervertir la limite et la somme :

\lim_{x \to \pm \infty} S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to \pm \infty} u_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)

Calculons les sommes partielles de rang pair $S_{2N}$ de cette série numérique :

S_{2N} = \sum_{n=1}^{2N} (-1)^n \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \sum_{k=1}^N \left( -\ln\left(\frac{2k}{2k-1}\right) + \ln\left(\frac{2k+1}{2k}\right) \right)

S_{2N} = \sum_{k=1}^N \ln\left( \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k} \right) = \ln\left( \prod_{k=1}^N \frac{4k^2-1}{4k^2} \right)

D'après la formule du produit de Wallis, on sait que $\prod_{k=1}^{+\infty} \frac{4k^2}{4k^2-1} = \frac{\pi}{2}$ . On peut aussi utiliser Stirling :

\prod_{k=1}^N \frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2N-1)(2N+1)}{2^{2N} (N!)^2} = \frac{((2N)!)^2 (2N+1)}{2^{4N} (N!)^4}

En utilisant $n! \sim \sqrt{2\pi n} (n/e)^n$ , on obtient :

\frac{((2N)!)^2 (2N+1)}{2^{4N} (N!)^4} \sim \frac{4\pi N (2N/e)^{4N} \cdot 2N}{2^{4N} \cdot 4\pi^2 N^2 (N/e)^{4N}} = \frac{8\pi N^2}{4\pi^2 N^2} = \frac{2}{\pi}

Ainsi, $\lim_{N \to +\infty} S_{2N} = \ln(2/\pi)$ . La série convergeant, c'est la valeur de sa somme.

\boxed{\lim_{x \to \pm \infty} S(x) = \ln\left(\frac{2}{\pi}\right)}

L'interversion limite-somme nécessite impérativement de vérifier la convergence uniforme. Ici, la convergence normale ne fonctionne pas car |u_n(x)| ~ 1/n, dont la série diverge.

Pour une série alternée où le terme général tend vers 0 de façon monotone, la convergence uniforme peut être établie via la majoration du reste.