Convergence d'une série trigonométrique à poids logarithmique

On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \geq 1}$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

\forall x \in \mathbb{R},   f_n(x) = \frac{n e^{i n x}}{(1 + n^2)(1 + \ln n)}

On note $S_N(x) = \sum_{n=1}^N f_n(x)$ la somme partielle associée.

Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels la série $\sum f_n(x)$ converge simplement.
La série de fonctions $\sum f_n$ converge-t-elle normalement sur son domaine de définition ?

1.

Pour la convergence simple, distinguer le cas où $x$ est un multiple de $2\pi$ du cas général.

2.

Dans le cas $x \in 2\pi\mathbb{Z}$ , utiliser une comparaison avec une série de Bertrand.

3.

Dans le cas $x \notin 2\pi\mathbb{Z}$ , utiliser la transformation d'Abel en exploitant le caractère borné des sommes de complexes de module 1 en progression géométrique.

4.

Pour la convergence normale, étudier le supremum du module du terme général sur $\mathbb{R}$ .

Idées clés

•

Transformation d'Abel (sommation par parties).

•

Étude d'une série de Bertrand $\sum \frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}$ .

•

Majoration uniforme des sommes trigonométriques $\sum e^{ikx}$ .

1. Étude de la convergence simple.

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Posons $u_n = \frac{n}{(1 + n^2)(1 + \ln n)}$ . Le terme général s'écrit $f_n(x) = u_n e^{inx}$ .

Premier cas : $x \in 2\pi\mathbb{Z$ $x \in 2 π Z$ .}

Dans ce cas, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $e^{inx} = 1$ . On a alors :

f_n(x) = u_n = \frac{n}{(1 + n^2)(1 + \ln n)}

Effectuons un équivalent au voisinage de $+\infty$ :

u_n \sim \frac{n}{n^2 \ln n} = \frac{1}{n \ln n}

La série $\sum \frac{1}{n \ln n}$ est une série de Bertrand avec $\alpha = 1$ et $\beta = 1$ . Par comparaison série-intégrale, la fonction $t \mapsto \frac{1}{t \ln t}$ admet pour primitive $\ln(\ln t)$ , qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ . Ainsi, la série $\sum u_n$ diverge.

\boxed{\text{La série diverge pour } x \in 2\pi\mathbb{Z}}

Deuxième cas : $x \notin 2\pi\mathbb{Z$ $x \in / 2 π Z$ .}

Nous allons utiliser la transformation d'Abel. Soit $A_n(x) = \sum_{k=1}^n e^{ikx}$ . Comme $e^{ix} \neq 1$ , il s'agit d'une somme géométrique :

A_n(x) = e^{ix} \frac{1 - e^{inx}}{1 - e^{ix}}

En passant au module, on a la majoration classique :

|A_n(x)| \leq \frac{2}{|1 - e^{ix}|} = \frac{1}{|\sin(x/2)|}

La suite $(A_n(x))_{n \geq 1}$ est donc bornée pour $x$ fixé. Étudions la monotonie de la suite $(u_n)$ . Soit $g(t) = \frac{t}{(1+t^2)(1+\ln t)}$ . Pour $t$ assez grand, un calcul de dérivée montre que $g'(t) < 0$ . En effet :

\ln(g(t)) = \ln(t) - \ln(1+t^2) - \ln(1+\ln t)

\frac{g'(t)}{g(t)} = \frac{1}{t} - \frac{2t}{1+t^2} - \frac{1}{t(1+\ln t)} = \frac{1-t^2}{t(1+t^2)} - \frac{1}{t(1+\ln t)}

Pour $t \geq 2$ , les deux termes sont strictement négatifs, donc $g$ est décroissante. Ainsi, $(u_n)$ décroit vers $0$ . Par la transformation d'Abel :

\sum_{k=1}^N u_k e^{ikx} = u_N A_N(x) + \sum_{k=1}^{N-1} (u_k - u_{k+1}) A_k(x)

$u_N A_N(x) \to 0$ quand $N \to +\infty$ car $u_N \to 0$ et $(A_N(x))$ est bornée.
La série $\sum (u_k - u_{k+1}) A_k(x)$ converge absolument car : $|(u_k - u_{k+1}) A_k(x)| \leq (u_k - u_{k+1}) \frac{1}{|\sin(x/2)|}$ et la série $\sum (u_k - u_{k+1})$ converge (série télescopique dont le terme général tend vers 0).

\boxed{\text{La série converge simplement sur } \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}}

2. Étude de la convergence normale.

La norme de la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ est donnée par :

\|f_n\|_{\infty} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \frac{n e^{inx}}{(1+n^2)(1+\ln n)} \right| = u_n

Nous avons montré à la question 1 que la série numérique $\sum u_n$ est divergente.

\boxed{\text{La série de fonctions } \sum f_n \text{ ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}}

Oublier de prouver la monotonie de la suite avant d'utiliser Abel.

Utiliser la transformation d'Abel pour les séries de type u_n * e^{inx}.