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Équation fonctionnelle et moyennes de suites de fonctions

limite simplemaximummoyenne pondéréeéquation fonctionnellePrincipe du maximumThéorème des bornes atteintes

Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on définit un:R+→Ru_n : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} par :

un(x)={(1−xn2)nsi x≤n20si x>n2u_n(x) = \begin{cases} (1 - \frac{x}{n^2})^n & \text{si } x \le n^2
0 & \text{si } x > n^2 \end{cases}

  1. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (un)(u_n) sur R+\mathbb{R}_+.
  2. Soit f∈C0(R+,R)f \in \mathscr{C}^0(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}) une fonction possédant une limite finie en +∞+\infty égale à f(0)f(0). Montrer que ff est bornée et atteint ses bornes sur R+\mathbb{R}_+.
  3. Soit (an)n∈N∗(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*} une suite de réels strictement positifs telle que ∑n=1∞an=1\sum_{n=1}^\infty a_n = 1. On suppose que ff vérifie :
    ∀x∈R+,f(x)=∑n=1∞anf(un(x))\forall x \in \mathbb{R}_+,   f(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n f(u_n(x))
    En utilisant le maximum de ff, démontrer que ff est constante.

1.

Pour la limite de unu_n, utiliser un développement limité du logarithme pour nn grand.

2.

Pour l'existence des bornes, utiliser le théorème des bornes atteintes sur un intervalle [0,A][0, A] bien choisi.

3.

Si MM est le maximum de ff, montrer qu'il est atteint en un point x∗x^* implique qu'il est aussi atteint en un(x∗)u_n(x^*). Utiliser la limite de unu_n.

Idées clés

•

Limite d'une suite de fonctions avec argument exponentiel.

•

"Compactification" de R+\mathbb{R}_+ par la limite à l'infini.

•

Principe du maximum pour les moyennes pondérées.

Résolution.

  1. Soit x∈R+x \in \mathbb{R}_+. Pour n>xn > \sqrt{x}, un(x)=exp⁡(nln⁡(1−xn2))u_n(x) = \exp\left( n \ln(1 - \frac{x}{n^2}) \right). Le développement limité donne :
    nln⁡(1−xn2)=n(−xn2+O(1n4))=−xn+O(1n3)n \ln(1 - \frac{x}{n^2}) = n \left( -\frac{x}{n^2} + O(\frac{1}{n^4}) \right) = -\frac{x}{n} + O(\frac{1}{n^3})
    Ceci tend vers 00 quand n→+∞n \to +\infty. Ainsi :
    ∀x∈R+,lim⁡n→+∞un(x)=e0=1\boxed{\forall x \in \mathbb{R}_+,   \lim_{n \to +\infty} u_n(x) = e^0 = 1}

  2. ff est continue sur R+\mathbb{R}_+ et lim⁡x→+∞f(x)=f(0)\lim_{x \to +\infty} f(x) = f(0). Considérons la fonction gg définie sur [0,1][0, 1] par g(t)=f(tan⁡(π2t))g(t) = f(\tan(\frac{\pi}{2}t)) pour t<1t < 1 et g(1)=f(0)g(1) = f(0). gg est continue sur le segment [0,1][0, 1]. Par le théorème des bornes atteintes, gg est bornée et atteint ses bornes. Comme l'image de gg est la même que celle de ff, ff est bornée et atteint ses bornes.
    M=max⁡R+f et m=min⁡R+f existent.\boxed{M = \max_{\mathbb{R}_+} f \text{ et } m = \min_{\mathbb{R}_+} f \text{ existent.}}

  3. Soit MM le maximum de ff sur R+\mathbb{R}_+, atteint en un point x∗∈R+x^* \in \mathbb{R}_+. On a f(x∗)=∑n=1∞anf(un(x∗))f(x^*) = \sum_{n=1}^\infty a_n f(u_n(x^*)). Or ∀n,f(un(x∗))≤M\forall n, f(u_n(x^*)) \le M. Comme ∑an=1\sum a_n = 1, on a :
    f(x∗)=∑n=1∞anf(un(x∗))≤∑n=1∞anM=Mf(x^*) = \sum_{n=1}^\infty a_n f(u_n(x^*)) \le \sum_{n=1}^\infty a_n M = M
    L'égalité n'est possible que si ∀n∈N∗,f(un(x∗))=M\forall n \in \mathbb{N}^*, f(u_n(x^*)) = M (car an>0a_n > 0). Par continuité de ff et comme un(x∗)→1u_n(x^*) \to 1, on en déduit en passant à la limite que f(1)=Mf(1) = M. De même, si mm est le minimum, on montre que f(1)=mf(1) = m. Ainsi M=mM = m, ce qui prouve que la fonction est constante.
    f est constante.\boxed{f \text{ est constante.}}

Justification de l'atteinte des bornes sur un intervalle non compact.

Le principe du maximum pour prouver qu'une fonction est constante.