Calcul de sommes via des représentations intégrales

Soit $\mu > 0$ . On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{(-1)^n}{\mu n + 1}$ .

Justifier la convergence de la série $\sum u_n$ .
Établir l'égalité : $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\mu n + 1} = \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^\mu}$ .
En déduire les valeurs respectives de $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$ et $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ .
Déterminer trois réels $a, b, c$ tels que pour tout $t \neq -1$ : $\frac{1}{1+t^3} = \frac{a}{1+t} + \frac{bt+c}{t^2-t+1}$ Calculer alors la valeur de $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le critère spécial des séries alternées.

2.

Pour la question 2, utiliser l'identité géométrique $\sum_{k=0}^n (-t^\mu)^k = \frac{1 - (-t^\mu)^{n+1}}{1 + t^\mu}$ et intégrer sur $[0, 1]$ .

3.

Pour la question 4, procéder par décomposition en éléments simples. Pour intégrer le terme en $t^2-t+1$ , faire apparaître la dérivée du dénominateur et une forme en $\arctan$ .

Idées clés

•

Intégration d'une somme géométrique et majoration du reste.

•

Théorème de convergence dominée (alternativement).

•

Décomposition en éléments simples pour le calcul intégral.

Résolution.

La suite $(\frac{1}{\mu n + 1})_{n \in \mathbb{N}}$ est positive, décroissante car $\mu > 0$ , et tend vers 0. D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série $\sum u_n$ converge.
Pour $t \in [0, 1[$ , on a la somme géométrique : $\sum_{k=0}^n (-t^\mu)^k = \frac{1 - (-t^\mu)^{n+1}}{1 + t^\mu}$ En intégrant sur $[0, 1]$ : $\sum_{k=0}^n \int_0^1 (-1)^k t^{\mu k} dt = \int_0^1 \frac{1}{1 + t^\mu} dt - \int_0^1 \frac{(-t^\mu)^{n+1}}{1 + t^\mu} dt$ $\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\mu k + 1} = \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^\mu} - R_n, \text{où } R_n = \int_0^1 \frac{(-t^\mu)^{n+1}}{1 + t^\mu} dt$ Majorons le reste $|R_n|$ : $|R_n| \leqslant \int_0^1 \frac{t^{\mu(n+1)}}{1 + t^\mu} dt \leqslant \int_0^1 t^{\mu(n+1)} dt = \frac{1}{\mu(n+1) + 1}$ Comme $|R_n| \to 0$ quand $n \to +\infty$ , on en déduit : $\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\mu n + 1} = \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^\mu}}$
Cas $\mu=1$ : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \int_0^1 \frac{dt}{1+t} = [\ln(1+t)]_0^1 = \boxed{\ln 2}$ Cas $\mu=2$ : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} = [\arctan(t)]_0^1 = \boxed{\frac{\pi}{4}}$
Décomposition en éléments simples : En multipliant par $1+t$ et en évaluant en $t=-1$ , on trouve $a = \frac{1}{3}$ . Par évaluation en $t=0$ , $1 = a+c \implies c = \frac{2}{3}$ . Par limite en $+\infty$ , $0 = a+b \implies b = -\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{1+t^3} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1+t} - \frac{t-2}{t^2-t+1} \right)$ Calcul de la somme pour $\mu=3$ : On doit calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{1+t^3} dt$ . $I = \frac{1}{3} \ln(2) - \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{t-2}{t^2-t+1} dt$ Pour l'intégrale restante, on écrit $t-2 = \frac{1}{2}(2t-1) - \frac{3}{2}$ : $\int_0^1 \frac{t-2}{t^2-t+1} dt = \frac{1}{2} [\ln(t^2-t+1)]_0^1 - \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dt}{(t-1/2)^2 + 3/4}$ Le terme en $\ln$ est nul car $\ln(1) - \ln(1) = 0$ . $\int_0^1 \frac{dt}{(t-1/2)^2 + 3/4} = \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2t-1}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) \right) = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$ Finalement : $I = \frac{1}{3} \ln 2 - \frac{1}{3} \left( -\frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \right) = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$ $\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{9}}$

Erreurs de calcul dans l'intégration de fractions rationnelles à dénominateur de degré 2.

Lien série-intégrale via la série géométrique pour le calcul de sommes.