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Intégrale logarithmique et série alternée

intégrale généraliséesérie de fonctionsintégration terme à termelogarithmeIPPDéveloppement en série entièreITT

L'objectif de cet exercice est de calculer la valeur d'une intégrale à l'aide d'un développement en série.

  1. Justifier la convergence de l'intégrale I=∫01(ln⁡x)21+x2 dxI = \int_0^1 \frac{(\ln x)^2}{1 + x^2}   dx.
  2. À l'aide d'un développement en série entière de la fonction sous l'intégrale, démontrer l'égalité suivante :
    I=2∑n=0+∞(−1)n(2n+1)3I = 2 \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)^3}

1.

Pour la convergence, étudier le comportement de la fonction au voisinage de 00 et de 11. Rappeler que xα(ln⁡x)β→0x^\alpha (\ln x)^\beta \to 0 quand x→0+x \to 0^+ pour α>0\alpha > 0.

2.

Utiliser le développement en série entière de x↦11+x2x \mapsto \frac{1}{1+x^2} pour x∈[0,1[x \in [0, 1[.

3.

Appliquer le théorème d'intégration terme à terme. Il faudra calculer les intégrales de la forme ∫01xk(ln⁡x)2 dx\int_0^1 x^k (\ln x)^2   dx par une double intégration par parties.

Idées clés

•

Développement en série entière de la fonction géométrique.

•

Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions.

•

Calcul de moments logarithmiques par intégration par parties (IPP).

Résolution.

  1. Étude de la convergence. Soit f:x↦ln⁡2x1+x2f : x \mapsto \frac{\ln^2 x}{1 + x^2}. La fonction ff est continue sur ]0,1]]0, 1]. Au voisinage de 00, par croissance comparée, on a xf(x)=xln⁡2x1+x2→x→0+0\sqrt{x} f(x) = \frac{\sqrt{x} \ln^2 x}{1+x^2} \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0. Ainsi, f(x)=o(1x)f(x) = o\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) au voisinage de 00. Comme x↦1xx \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} est intégrable sur ]0,1/2]]0, 1/2] (intégrale de Riemann avec 1/2<11/2 < 1), ff est intégrable sur ]0,1]]0, 1].
    L’inteˊgrale I est bien convergente.\boxed{\text{L'intégrale } I \text{ est bien convergente.}}

  2. Développement en série et intégration. Pour tout x∈]0,1[x \in ]0, 1[, on sait que :
    11+x2=∑n=0+∞(−1)nx2n\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}
    On en déduit que pour tout x∈]0,1[x \in ]0, 1[ :
    f(x)=∑n=0+∞(−1)nx2nln⁡2xf(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n} \ln^2 x
    Posons fn(x)=(−1)nx2nln⁡2xf_n(x) = (-1)^n x^{2n} \ln^2 x pour x∈]0,1[x \in ]0, 1[. Chaque fonction fnf_n est continue et intégrable sur ]0,1[]0, 1[. Calculons ∫01∣fn(x)∣ dx=∫01x2nln⁡2x dx\int_0^1 |f_n(x)|   dx = \int_0^1 x^{2n} \ln^2 x   dx par une double IPP sur l'intervalle [ε,1][\varepsilon, 1] : \begin{align*} \int_\varepsilon^1 x^{2n} \ln^2 x   dx &= \left[ \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \ln^2 x \right]_\varepsilon^1 - \int_\varepsilon^1 \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \frac{2\ln x}{x}   dx
    &= - \frac{\varepsilon^{2n+1} \ln^2 \varepsilon}{2n+1} - \frac{2}{2n+1} \int_\varepsilon^1 x^{2n} \ln x   dx \end{align*} En passant à la limite ε→0\varepsilon \to 0 et en effectuant une seconde IPP sur ∫01x2nln⁡x dx\int_0^1 x^{2n} \ln x   dx : \begin{align*} \int_0^1 x^{2n} \ln x   dx &= \left[ \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \ln x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{2n}}{2n+1}   dx
    &= 0 - \left[ \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{(2n+1)^2} \end{align*} D'où :
    ∫01∣fn(x)∣ dx=2(2n+1)3\int_0^1 |f_n(x)|   dx = \frac{2}{(2n+1)^3}
    La série ∑∫01∣fn∣\sum \int_0^1 |f_n| converge car 2(2n+1)3∼14n3\frac{2}{(2n+1)^3} \sim \frac{1}{4n^3} (série de Riemann convergente). D'après le théorème d'intégration terme à terme, on peut intervertir somme et intégrale :
    I=∑n=0+∞∫01(−1)nx2nln⁡2x dx=∑n=0+∞(−1)n2(2n+1)3I = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 (-1)^n x^{2n} \ln^2 x   dx = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{2}{(2n+1)^3}
    Finalement :
    I=2∑n=0+∞(−1)n(2n+1)3\boxed{I = 2 \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)^3}}

Oubli de la justification de l'ITT sur un intervalle non compact.

Intégrale de moment logarithmique : intégrer par parties pour abaisser la puissance du logarithme.