Évaluation d'une intégrale par développement en série

Résolution.

1. Convergence de l'intégrale. Soit $g : t \mapsto \frac{\ln t \ln(1 - t)}{t}$. $g$ est continue sur $]0, 1[$. En $0$ : Comme $\ln(1-t) \sim -t$, alors $g(t) \sim \frac{\ln t \times (-t)}{t} = -\ln t$. L'intégrale de $\ln t$ converge en $0$, donc par comparaison de fonctions de signe constant, $g$ est intégrable au voisinage de $0$. En $1$ : $\ln t \sim t-1$, donc $g(t) \sim (t-1)\ln(1-t) \xrightarrow[t \to 1^-]{} 0$ par croissance comparée. La fonction $g$ est donc prolongeable par continuité en $1$.
   $$\boxed{\text{L'intégrale } I \text{ est convergente.}}$$

2. Développement en série et calcul. Pour tout $t \in ]0, 1[$, on a :
   $$\ln(1-t) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n}$$
   On en déduit l'expression de $g$ sous forme de série de fonctions :
   $$g(t) = \frac{\ln t}{t} \left( -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( -\frac{t^{n-1} \ln t}{n} \right)$$
   Posons $g_n(t) = - \frac{t^{n-1} \ln t}{n}$. Pour tout $t \in ]0, 1[$, $g_n(t) \geqslant 0$. Chaque $g_n$ est continue et intégrable sur $]0, 1]$. Calculons son intégrale par IPP : \begin{align*} \int_0^1 t^{n-1} \ln t   dt &= \left[ \frac{t^n}{n} \ln t \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^n}{n} \cdot \frac{1}{t}   dt
   &= 0 - \int_0^1 \frac{t^{n-1}}{n}   dt = - \left[ \frac{t^n}{n^2} \right]_0^1 = -\frac{1}{n^2} \end{align*} On obtient alors :
   $$\int_0^1 g_n(t)   dt = -\frac{1}{n} \left( -\frac{1}{n^2} \right) = \frac{1}{n^3}$$
   Puisque les fonctions $g_n$ sont toutes positives, le théorème d'intégration terme à terme s'applique dès que la série des intégrales converge : La série $\sum \frac{1}{n^3}$ est une série de Riemann convergente ($3 > 1$). On peut donc conclure :
   $$I = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^1 g_n(t)   dt = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}$$
   Finalement :
   $$\boxed{I = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}}$$