Calcul de la somme d'une série de fractions rationnelles

Résolution.

1. Calcul de $I_{p, q$.} Soit $p \in \mathbb{N}$ et $q \in \mathbb{N}^*$. Par IPP :
   $$I_{p, q} = \left[ \frac{t^{p+1}}{p+1} (1-t)^q \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{t^{p+1}}{p+1} q (1-t)^{q-1}   \mathrm{d}t = \frac{q}{p+1} I_{p+1, q-1}$$
   En itérant $q$ fois :
   $$I_{p, q} = \frac{q(q-1)\dots 1}{(p+1)(p+2)\dots(p+q)} I_{p+q, 0}$$
   Comme $I_{p+q, 0} = \int_0^1 t^{p+q}   \mathrm{d}t = \frac{1}{p+q+1}$, on obtient :
   $$\boxed{ I_{p, q} = \frac{p! q!}{(p+q+1)!} }$$

2. Convergence uniforme. Soit $f(t) = t(1-t)$. Cette fonction est continue sur $[0, 1]$, son maximum est atteint en $1/2$ et vaut $f(1/2) = 1/4$. Ainsi, $\forall t \in [0, 1], |f(t)^n| \leq (1/4)^n$. La série numérique $\sum (1/4)^n$ converge (série géométrique de raison $<1$). La série de fonctions $\sum f^n$ converge donc normalement, et donc uniformément sur $[0, 1]$.

3. Somme de la série. D'après la question 1, $I_{n, n} = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$. La convergence uniforme sur le segment $[0, 1]$ permet d'intervertir :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} I_{n, n} = \int_0^1 \sum_{n=0}^{+\infty} (t-t^2)^n   \mathrm{d}t = \int_0^1 \frac{1}{1-(t-t^2)}   \mathrm{d}t$$
   On calcule cette intégrale par mise sous forme canonique :
   $$\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^2-t+1} = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{(t-1/2)^2 + 3/4}$$
   En posant $u = \frac{2}{\sqrt{3}}(t-1/2)$, on a $\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{d}u$ :
   $$\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{(t-1/2)^2 + 3/4} = \frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \int_{-1/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d}u}{u^2+1} = \frac{2}{\sqrt{3}} [ \arctan(u) ]_{-1/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}}$$
   Comme $\arctan(1/\sqrt{3}) = \pi/6$ :
   $$S = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$
   On conclut :
   $$\boxed{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} }$$