Calcul de la somme de la série d'Euler

Résolution.

1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Posons $I_n = \int_{0}^{\pi} (\alpha t + \beta t^2) \cos(nt)   \mathrm{d}t$. Effectuons une première intégration par parties en posant $u(t) = \alpha t + \beta t^2$ et $v'(t) = \cos(nt)$. On obtient :
   $$I_n = \left[ (\alpha t + \beta t^2) \frac{\sin(nt)}{n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi (\alpha + 2\beta t) \frac{\sin(nt)}{n}   \mathrm{d}t$$

   Comme $\sin(n\pi) = 0$ et $\sin(0) = 0$, le terme de bord s'annule. Effectuons une seconde intégration par parties :

   $$I_n = - \frac{1}{n} \left( \left[ (\alpha + 2\beta t) \frac{-\cos(nt)}{n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi 2\beta \frac{-\cos(nt)}{n}   \mathrm{d}t \right)$$

   En développant, il vient :

   $$I_n = \frac{1}{n^2} \left( (\alpha + 2\beta \pi) \cos(n\pi) - \alpha \right) + \frac{2\beta}{n^3} [\sin(nt)]_0^\pi$$

   D'où $I_n = \frac{(\alpha + 2\beta \pi)(-1)^n - \alpha}{n^2}$. Pour obtenir $I_n = \frac{1}{n^2}$ pour tout $n$, on impose :

   $$\begin{cases} \alpha + 2\beta \pi = 0$$
   -\alpha = 1 \end{cases}

   On en déduit les constantes :

   $$\boxed{ \alpha = -1   \text{et}   \beta = \frac{1}{2\pi} }$$

2. En utilisant la linéarité de l'intégrale et le résultat précédent :
   $$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^N \int_0^\pi f(t) \cos(nt)   \mathrm{d}t = \int_0^\pi f(t) \left( \sum_{n=1}^N \cos(nt) \right)   \mathrm{d}t$$

   Par définition du noyau de Dirichlet $D_N(t)$, on a $\sum_{n=1}^N \cos(nt) = D_N(t) - \frac{1}{2}$. Ainsi :

   $$S_N = \int_0^\pi f(t) D_N(t)   \mathrm{d}t - \frac{1}{2} \int_0^\pi f(t)   \mathrm{d}t$$

   Calculons l'intégrale constante :

   $$\int_0^\pi \left( -t + \frac{t^2}{2\pi} \right)   \mathrm{d}t = \left[ -\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6\pi} \right]_0^\pi = -\frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{6} = -\frac{\pi^2}{3}$$

   On obtient donc la relation :

   $$\boxed{ S_N = \int_0^\pi \frac{f(t)}{2 \sin(t/2)} \sin\left((N+1/2)t\right)   \mathrm{d}t + \frac{\pi^2}{6} }$$

3. Posons $g(t) = \frac{f(t)}{2 \sin(t/2)} = \frac{t^2/2\pi - t}{2 \sin(t/2)}$. Étudions la régularité de $g$ au voisinage de $0$. Par développement limité :
   $$g(t) = \frac{-t + O(t^2)}{2(t/2 + O(t^3))} = \frac{-t + O(t^2)}{t + O(t^3)} \xrightarrow[t \to 0]{} -1$$

   La fonction $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0, \pi]$ et se prolonge par continuité en 0. De plus, un calcul de dérivée montre que $g'$ admet une limite finie en 0, donc $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, \pi]$ par le théorème de prolongement $\mathcal{C}^1$.

   Par le lemme de Riemann-Lebesgue (ou par une intégration par parties pour une fonction $\mathcal{C}^1$), on a :

   $$\lim_{N \to +\infty} \int_0^\pi g(t) \sin\left((N+1/2)t\right)   \mathrm{d}t = 0$$

   En passant à la limite dans l'expression de $S_N$, on conclut :

   $$\boxed{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} }$$