Régularité d'une série trigonométrique

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de réels positifs ou nuls. On suppose que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , la série de fonctions $\sum a_n \cos(nx)$ converge simplement vers une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :

La série numérique $\sum n^2 a_n$ est convergente.
La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ .
La fonction $f$ vérifie au voisinage de $0$ la condition : $f(x) + f(-x) - 2f(0) = O(x^2)$

1.

Pour $(1) \implies (2)$ , utiliser le théorème de dérivation des séries de fonctions en vérifiant la convergence normale des séries de dérivées.

2.

Pour $(2) \implies (3)$ , effectuer un développement de Taylor-Young à l'ordre 2 en 0, en exploitant la parité de $f$ .

3.

Pour $(3) \implies (1)$ , exprimer la quantité $f(x) + f(-x) - 2f(0)$ sous forme de série et utiliser une minoration sur les sommes partielles avant de passer à la limite $x \to 0$ .

Idées clés

•

Théorème de classe $\mathcal{C}^k$ pour les séries de fonctions (convergence normale des dérivées).

•

Lien entre régularité locale et décroissance des coefficients (via Taylor).

•

Théorème de convergence monotone ou passage à la limite dans les inégalités de séries à termes positifs.

Résolution.

Preuve de $(1) \implies (2)$ :

Supposons que la série $\sum n^2 a_n$ converge. Posons $u_n(x) = a_n \cos(nx)$ . Chaque fonction $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ . On calcule les dérivées successives :

u_n'(x) = -n a_n \sin(nx)   \text{et}   u_n''(x) = -n^2 a_n \cos(nx)

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a les majorations suivantes :

\|u_n'\|_{\infty} \le n a_n \le n^2 a_n   \text{et}   \|u_n''\|_{\infty} \le n^2 a_n

Puisque $\sum n^2 a_n$ converge, les séries $\sum u_n'$ et $\sum u_n''$ convergent normalement (donc uniformément) sur $\mathbb{R}$ . Par application du théorème de dérivation des séries de fonctions, la somme $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ et :

\boxed{ f''(x) = - \sum_{n=1}^{+\infty} n^2 a_n \cos(nx) }

Preuve de $(2) \implies (3)$ :

Supposons $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ . D'après la formule de Taylor-Young au voisinage de $0$ :

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)

Puisque la fonction $f$ est paire (somme de fonctions paires), on a $f'(0) = 0$ . On obtient donc $f(x) = f(0) + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$ , d'où :

f(x) + f(-x) - 2f(0) = 2 \left( f(0) + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) \right) - 2f(0) = f''(0)x^2 + o(x^2)

On en déduit immédiatement la condition de grand $O$ :

\boxed{ f(x) + f(-x) - 2f(0) = O(x^2) }

Preuve de $(3) \implies (1)$ :

Supposons qu'il existe $M > 0$ et $\delta > 0$ tels que pour tout $|x| < \delta$ :

|f(x) + f(-x) - 2f(0)| \le M x^2

On exprime la quantité de gauche à l'aide de la série :

f(x) + f(-x) - 2f(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \left( \cos(nx) + \cos(-nx) - 2 \right) = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} a_n (\cos(nx) - 1)

En utilisant l'identité $1 - \cos(u) = 2 \sin^2(u/2)$ , on obtient :

2f(0) - f(x) - f(-x) = 4 \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin^2\left( \frac{nx}{2} \right)

D'après l'hypothèse (3), pour tout $x \in ]0, \delta[$ , on a :

\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \sin^2\left( \frac{nx}{2} \right) \le \frac{M}{4} x^2

Comme tous les termes $a_n \sin^2(nx/2)$ sont positifs, on peut tronquer la somme. Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$ :

\sum_{n=1}^{N} a_n \sin^2\left( \frac{nx}{2} \right) \le \frac{M}{4} x^2

En divisant par $x^2$ (pour $x \neq 0$ ), on a :

\sum_{n=1}^{N} a_n \frac{\sin^2(nx/2)}{x^2} \le \frac{M}{4}

On passe à la limite quand $x \to 0$ dans cette somme finie. Pour chaque $n$ , $\frac{\sin^2(nx/2)}{x^2} \to \frac{n^2}{4}$ . On obtient :

\sum_{n=1}^{N} a_n \frac{n^2}{4} \le \frac{M}{4}

Ainsi, les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum n^2 a_n$ sont majorées par $M$ . La série $\sum n^2 a_n$ est donc convergente.

\boxed{ \sum_{n=1}^{+\infty} n^2 a_n < +\infty }

Passage à la limite x vers 0 dans une somme infinie sans justification

Equivalence entre classe C2 et convergence de la série de n^2 a_n pour les séries trigonométriques à coefficients positifs