Régularité et équivalents d'une série rationnelle

Résolution.

1. Soit $x > 0$. Lorsque $n \to +\infty$, on a :
   $$f_n(x) = \frac{1}{n^2x + n} \sim \frac{1}{n^2 x}$$
   Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum f_n(x)$ converge.
   $$\boxed{S \text{ est bien définie sur } \mathbb{R}_+^*}$$

2. Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, la dérivée $k$-ième est :
   $$f_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^k k! n^{2k}}{(n^2x + n)^{k+1}}$$
   Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a $|n^2x + n| \geq n^2a$. Ainsi :
   $$|f_n^{(k)}(x)| \leq \frac{k! n^{2k}}{(n^2a)^{k+1}} = \frac{k!}{a^{k+1} n^2}$$
   La série $\sum f_n^{(k)}$ converge normalement sur tout intervalle $[a, +\infty[$. Par théorème de dérivation sous le signe somme, $S$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur chaque $[a, +\infty[$, donc sur $\mathbb{R}_+^*$.

3. Pour $x > 0$, on a $0 \leq f_n(x) \leq \frac{1}{n^2x}$. En sommant :
   $$0 \leq S(x) \leq \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$$
   Par encadrement, $\lim_{x \to +\infty} S(x) = 0$. De plus, $x S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^2x+n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + n/x}$. Pour $x \geq 1$, $\frac{1}{n^2 + n/x} \leq \frac{1}{n^2}$, terme général d'une série convergente. Par convergence dominée (version séries), $\lim_{x \to +\infty} x S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \zeta(2)$.
   $$\boxed{S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi^2}{6x}}$$

4. Pour $x$ fixé, la fonction $t \mapsto \frac{1}{t^2x+t}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2x+t} \leq S(x) \leq f_1(x) + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2x+t}$$
   Calculons l'intégrale : $\frac{1}{t^2x+t} = \frac{1}{t(tx+1)} = \frac{1}{t} - \frac{x}{tx+1}$.
   $$\int_1^{A} \left( \frac{1}{t} - \frac{x}{tx+1} \right) dt = \left[ \ln\left(\frac{t}{tx+1}\right) \right]_1^A = \ln\left(\frac{A}{Ax+1}\right) - \ln\left(\frac{1}{x+1}\right)$$
   En faisant tendre $A \to +\infty$, l'intégrale vaut $\ln(1/x) + \ln(x+1) = -\ln x + \ln(1+x)$. Comme $\ln(1+x) \to 0$ et $f_1(x) \to 1$ quand $x \to 0^+$, ils sont négligeables devant $-\ln x$.
   $$\boxed{S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\ln x}$$