Étude d'une intégrale à paramètre exponentielle

Résolution.

1. Régularité et équation différentielle.

   Posons $g(x,t) = e^{x \sin t}$. La fonction $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R} \times [0, \pi]$. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, la dérivée partielle $\frac{\partial^k g}{\partial x^k}(x,t) = \sin^k(t) e^{x \sin t}$ est continue sur $\mathbb{R} \times [0, \pi]$. D'après le théorème de Leibniz sur un segment, $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et :

   $$\forall x \in \mathbb{R},   f'(x) = \int_{0}^{\pi} \sin t   e^{x \sin t}   \mathrm{d}t   \text{et}   f''(x) = \int_{0}^{\pi} \sin^2 t   e^{x \sin t}   \mathrm{d}t$$

   Calculons la quantité $x f''(x) - x f(x) + f'(x)$ :

   $$x f''(x) - x f(x) = \int_{0}^{\pi} x (\sin^2 t - 1) e^{x \sin t}   \mathrm{d}t = - \int_{0}^{\pi} x \cos^2 t   e^{x \sin t}   \mathrm{d}t$$

   Effectuons une intégration par parties en posant $u(t) = \cos t$ et $v'(t) = x \cos t   e^{x \sin t}$ (dont une primitive est $v(t) = e^{x \sin t}$) :

   $$\int_{0}^{\pi} x \cos^2 t   e^{x \sin t}   \mathrm{d}t = \left[ \cos t   e^{x \sin t} \right]_0^\pi - \int_{0}^{\pi} (-\sin t) e^{x \sin t}   \mathrm{d}t$$

   En évaluant le crochet :

   $$(-1) e^0 - (1) e^0 + \int_{0}^{\pi} \sin t   e^{x \sin t}   \mathrm{d}t = -2 + f'(x)$$

   On en déduit :

   $$x f''(x) - x f(x) = -(-2 + f'(x)) = 2 - f'(x)$$

   L'équation différentielle vérifiée par $f$ est donc :

   $$\boxed{ x f''(x) + f'(x) - x f(x) = 2 }$$

2. Développement en série entière.

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $t \in [0, \pi]$, on a $e^{x \sin t} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x \sin t)^n}{n!}$. Pour $x$ fixé, la série de fonctions $t \mapsto \frac{x^n \sin^n t}{n!}$ converge normalement sur $[0, \pi]$ car :

   $$\left\| \frac{x^n \sin^n t}{n!} \right\|_\infty \le \frac{|x|^n}{n!}$$
   qui est le terme général d'une série convergente. On peut donc intégrer terme à terme :
   $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} \int_{0}^{\pi} \sin^n t   \mathrm{d}t$$

   Par symétrie de la fonction sinus par rapport à $\pi/2$, on a $\int_{0}^{\pi} \sin^n t   \mathrm{d}t = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^n t   \mathrm{d}t = 2 W_n$, où $W_n$ est l'intégrale de Wallis. Rappelons que :

   $$W_{2p} = \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2} \frac{\pi}{2}   \text{et}   W_{2p+1} = \frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}$$

   Calculons les coefficients $a_n = \frac{2 W_n}{n!}$ :

   • Pour $n = 2p$ :
     $$a_{2p} = \frac{1}{(2p)!} \cdot 2 \cdot \frac{(2p)! \pi}{2^{2p+1} (p!)^2} = \frac{\pi}{2^{2p}(p!)^2}$$
   • Pour $n = 2p+1$ :
     $$a_{2p+1} = \frac{1}{(2p+1)!} \cdot 2 \cdot \frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!} = \frac{2^{2p+1}(p!)^2}{((2p+1)!)^2}$$

   Ainsi, le développement en série entière de $f$ est :

   $$\boxed{ f(x) = \sum_{p=0}^{+\infty} \left( \frac{\pi}{2^{2p}(p!)^2} x^{2p} + \frac{2^{2p+1}(p!)^2}{((2p+1)!)^2} x^{2p+1} \right) }$$
   Le rayon de convergence est infini par croissance comparée ou règle de d'Alembert sur chaque série.