Étude d'une série de fonctions exponentielle alternée

Résolution.

1. Domaine de définition : Soit $x \in \mathbb{R}$. Posons $u_n(x) = \frac{(-1)^n e^{-nx}}{n+1}$.
   • Si $x < 0$, alors $|u_n(x)| = \frac{e^{n|x|}}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. La série diverge grossièrement.
   • Si $x = 0$, $u_n(0) = \frac{(-1)^n}{n+1}$. C'est une série alternée dont le terme général tend vers $0$ en décroissant en valeur absolue. Par le critère spécial des séries alternées, la série converge.
   • Si $x > 0$, $|u_n(x)| \leqslant e^{-nx}$. Comme $|e^{-x}| < 1$, la série $\sum (e^{-x})^n$ est une série géométrique convergente. Par comparaison, la série converge absolument.
   L'ensemble de définition est donc :
   $$\boxed{D_f = [0, +\infty[}$$

2. Classe de dérivabilité sur $]0, +\infty[$ : Soit $a > 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n$ est de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur $[a, +\infty[$. Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on a $u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{n+k} n^k e^{-nx}}{n+1}$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a :
   $$|u_n^{(k)}(x)| \leqslant n^k e^{-na}$$
   Par croissances comparées, $n^k e^{-na} = o(n^{-2})$, donc la série des dérivées $k$-ièmes converge normalement (et donc uniformément) sur $[a, +\infty[$. Ceci étant vrai pour tout $a > 0$ et tout $k \in \mathbb{N}$, on en déduit que :
   $$\boxed{f \text{ est de classe } \mathscr{C}^\infty \text{ sur } ]0, +\infty[}$$

3. Continuité en $0$ : Pour $x \geqslant 0$, la série $\sum u_n(x)$ vérifie les hypothèses du critère spécial des séries alternées car $(|u_n(x)|)_{n \geqslant 0}$ décroît vers $0$. Le reste d'ordre $n$, noté $R_n(x)$, vérifie :
   $$\forall x \in \mathbb{R}_+,   |R_n(x)| \leqslant |u_{n+1}(x)| = \frac{e^{-(n+1)x}}{n+2} \leqslant \frac{1}{n+2}$$
   Comme $\frac{1}{n+2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, la suite de fonctions $(R_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0, +\infty[$. La série de fonctions converge donc uniformément sur $[0, +\infty[$. Chaque fonction $u_n$ étant continue, la somme $f$ est continue sur $[0, +\infty[$. En particulier, $f$ est continue en $0$.

4. Équation différentielle : Pour $x > 0$, on peut dériver terme à terme :
   $$f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{-n(-1)^n e^{-nx}}{n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n(-1)^{n+1} e^{-nx}}{n+1}$$
   Remarquons que $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. On a alors :
   $$f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} (e^{-x})^n + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n e^{-nx}}{n+1}$$
   La première somme est une série géométrique de raison $-e^{-x}$ (avec $|-e^{-x}| < 1$) :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} (e^{-x})^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} (-e^{-x})^n = - \frac{1}{1 - (-e^{-x})} = - \frac{1}{1 + e^{-x}}$$
   On reconnaît $f(x)$ dans la seconde somme. Ainsi, $f$ vérifie sur $\mathbb{R}_+^*$ :
   $$\boxed{f'(x) - f(x) = -\frac{1}{1 + e^{-x}}}$$

5. Expression explicite : L'équation homogène $y' - y = 0$ a pour solutions $x \mapsto C e^x$. Par la méthode de variation de la constante, on cherche $f(x) = C(x) e^x$, soit $C'(x) e^x = -\frac{1}{1 + e^{-x}}$. On a $C'(x) = -\frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}$. Une primitive est $C(x) = \ln(1 + e^{-x}) + K$. D'où $f(x) = e^x \ln(1 + e^{-x}) + K e^x$. Par continuité en $0$ : $f(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \ln(2)$. Or, l'expression donne $f(0) = e^0 \ln(1 + e^0) + K e^0 = \ln(2) + K$. On en déduit que $K = 0$. Finalement, pour tout $x \geqslant 0$ :
   $$\boxed{f(x) = e^x \ln(1 + e^{-x})}$$