Variante du théorème de Weierstrass sur un intervalle non borné

Soit $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ une fonction continue, strictement décroissante, vérifiant la condition de limite à l'infini :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

On considère l'espace vectoriel $E$ des fonctions réelles continues sur $\mathbb{R}^{+}$ qui tendent vers $0$ en $+\infty$ , muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ .

On définit le sous-ensemble de fonctions suivant :

\mathcal{A} = \{ P \circ f \mid P \in \mathbb{R}[X] \text{ et } P(0) = 0 \}

Montrer que $\mathcal{A}$ est dense dans $E$ .

1.

Utiliser un changement de variable pour se ramener à un intervalle compact de la forme $[0, a]$ .

2.

Exploiter le théorème d'approximation de Weierstrass pour les fonctions continues sur un segment.

3.

Veiller à traiter la condition $P(0) = 0$ en ajustant le polynôme approximant par sa valeur en $0$ .

Idées clés

•

Bijection entre l'intervalle semi-ouvert $[0, +\infty[$ et un segment $[0, f(0)]$ .

•

Utilisation du théorème de Weierstrass sur un compact.

•

Construction d'une extension continue à l'origine pour le changement de variable.

Résolution.

Étude de la fonction de changement de variable. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}^{+}$ . Posons $L = f(0)$ . Comme $f$ décroît strictement vers $0$ , l'image de $[0, +\infty[$ par $f$ est l'intervalle $I = ]0, L]$ . L'application $f$ induit donc une bijection continue de $[0, +\infty[$ sur $]0, L]$ . Notons $f^{-1} : ]0, L] \to [0, +\infty[$ sa réciproque, qui est également continue.
Changement de variable et extension. Soit $g \in E$ . Nous cherchons à approcher $g$ par une fonction de la forme $P \circ f$ . Considérons la fonction $h = g \circ f^{-1}$ définie sur $]0, L]$ . Puisque $g \in E$ , nous avons $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ . Or, quand $y$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, $f^{-1}(y)$ tend vers $+\infty$ . Par composition des limites : $\lim_{y \to 0^+} h(y) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ Nous pouvons donc prolonger $h$ par continuité en $0$ en posant $h(0) = 0$ . La fonction ainsi prolongée, notée $\tilde{h}$ , est continue sur le segment $[0, L]$ .
Application du théorème de Weierstrass. Soit $\epsilon > 0$ . D'après le théorème d'approximation de Weierstrass, il existe un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que : $\sup_{y \in [0, L]} | \tilde{h}(y) - Q(y) | \le \frac{\epsilon}{2}$ En particulier, pour $y=0$ , comme $\tilde{h}(0) = 0$ , nous avons $|Q(0)| \le \frac{\epsilon}{2}$ . Posons $P(X) = Q(X) - Q(0)$ . Ce polynôme appartient à $\mathbb{R}[X]$ et vérifie $P(0) = 0$ .
Vérification de l'approximation. Pour tout $y \in [0, L]$ , nous avons par l'inégalité triangulaire : $|\tilde{h}(y) - P(y)| = |\tilde{h}(y) - Q(y) + Q(0)| \le |\tilde{h}(y) - Q(y)| + |Q(0)|$ D'où : $\forall y \in [0, L], |\tilde{h}(y) - P(y)| \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ En revenant à la variable $x$ par le changement $y = f(x)$ , nous obtenons pour tout $x \in [0, +\infty[$ : $|g(x) - P(f(x))| = |\tilde{h}(f(x)) - P(f(x))| \le \epsilon$ Ceci étant vrai pour tout $x$ , nous en déduisons : $\boxed{\|g - P \circ f\|_{\infty} \le \epsilon}$ Le polynôme $P$ répondant aux critères de l'ensemble $\mathcal{A}$ , nous avons démontré que $\mathcal{A}$ est dense dans $E$ .

Oublier de justifier le prolongement par continuité en 0 après changement de variable.

L'utilisation d'un homéomorphisme pour ramener un problème d'approximation sur un intervalle infini à un problème sur un segment compact.