Théorème de Stone-Weierstrass pour les algèbres

Soit $(X, d)$ un espace métrique compact non vide. On note $\mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ l'algèbre des fonctions réelles continues sur $X$ , munie de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ . Soit $A$ une sous-algèbre de $\mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ satisfaisant les deux conditions suivantes :

$A$ contient les fonctions constantes.
$A$ sépare les points de $X$ : $\forall x, y \in X, x \neq y \Rightarrow \exists f \in A, f(x) \neq f(y)$ .

On note

B = \bar{A}

l'adhérence de

A

pour la norme

\|\cdot\|_{\infty}

.

Montrer que $B$ est une sous-algèbre fermée de $\mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ stable par la fonction valeur absolue (i.e., $f \in B \Rightarrow |f| \in B$ ).
Prouver que pour tout couple $(x, y) \in X^2$ avec $x \neq y$ , et pour tout couple de réels $(a, b)$ , il existe une fonction $f \in A$ telle que $f(x)=a$ et $f(y)=b$ .
Soit $h \in \mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ $h \in C (X, R)$ et $\varepsilon > 0$ $ε > 0$ .
1. Montrer que pour tout $x \in X$ , il existe une fonction $g_x \in B$ telle que $g_x(x) = h(x)$ et $\forall y \in X, g_x(y) \leq h(y) + \varepsilon$ .
2. En déduire l'existence d'une fonction $\varphi \in B$ telle que $\|h - \varphi\|_{\infty} \leq \varepsilon$ .
Conclure sur la densité de $A$ dans $\mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que $t \mapsto |t|$ est limite uniforme de polynômes sur un segment.

2.

Pour la question 2, considérer l'application $f \mapsto (f(x), f(y))$ et montrer qu'elle est surjective.

3.

Pour la question 3(a), utiliser le résultat de la question 2 pour chaque point $y$ et exploiter la compacité de $X$ pour passer du local au global via un "infimum".

4.

Rappel : $\max(f, g) = \frac{f+g+|f-g|}{2}$ et $\min(f, g) = \frac{f+g-|f-g|}{2}$ .

Idées clés

•

Approximation de la valeur absolue par des polynômes

•

Stabilité de $B$ par $\min$ et $\max$

•

Recouvrement fini d'un compact (propriété de Borel-Lebesgue)

Résolution.

Puisque $(\mathcal{C}(X, \mathbb{R}), \|\cdot\|_{\infty})$ est une algèbre normée, les opérations sont continues, donc l'adhérence $B$ d'une sous-algèbre est une sous-algèbre. Soit $f \in B$ . L'image $f(X)$ est un segment $[-M, M]$ . D'après le théorème de Weierstrass classique, la fonction $t \mapsto |t|$ est limite uniforme de polynômes $(P_n)$ sur $[-M, M]$ . Alors $P_n \circ f$ converge uniformément vers $|f|$ . Comme $B$ est une algèbre contenant les constantes, $P_n \circ f \in B$ . $B$ étant fermé : $\boxed{ |f| \in B }$
Soient $x \neq y$ et $g \in A$ tel que $g(x) \neq g(y)$ . Considérons $f = \lambda g + \mu \cdot \mathbf{1}$ . On veut résoudre le système : $\begin{cases} \lambda g(x) + \mu = a \lambda g(y) + \mu = b \end{cases}$ Le déterminant est $g(x) - g(y) \neq 0$ . Le système admet une solution $(\lambda, \mu)$ , donc $f \in A$ .
1. Fixons $x \in X$ . Pour tout $y \in X$ , d'après la question 2, il existe $f_y \in A \subset B$ tel que $f_y(x) = h(x)$ et $f_y(y) = h(y)$ . Par continuité, il existe un ouvert $O_y$ contenant $y$ tel que pour tout $z \in O_y$ , $f_y(z) < h(z) + \varepsilon$ . La famille $(O_y)_{y \in X}$ recouvre le compact $X$ . On en extrait un sous-recouvrement fini $O_{y_1}, \dots, O_{y_p}$ . Posons $g_x = \min(f_{y_1}, \dots, f_{y_p})$ . Comme $B$ est stable par la valeur absolue, elle est stable par l'opération $\min$ . Alors $g_x \in B$ . De plus, $g_x(x) = h(x)$ (car chaque $f_{y_i}(x) = h(x)$ ) et pour tout $z \in X$ , $z$ appartient à un certain $O_{y_k}$ , d'où $g_x(z) \leq f_{y_k}(z) < h(z) + \varepsilon$ . $\boxed{ g_x(x) = h(x) \text{et} \forall z \in X, g_x(z) \leq h(z) + \varepsilon }$
2. Pour chaque $x$ , par continuité, il existe un ouvert $W_x$ contenant $x$ tel que $\forall z \in W_x, g_x(z) > h(z) - \varepsilon$ . On extrait à nouveau un recouvrement fini $W_{x_1}, \dots, W_{x_q}$ de $X$ . Posons $\varphi = \max(g_{x_1}, \dots, g_{x_q})$ . Par stabilité, $\varphi \in B$ . Par construction, $\varphi(z) \leq h(z) + \varepsilon$ car chaque $g_{x_j}$ le vérifie. D'autre part, pour tout $z$ , il existe $k$ tel que $z \in W_{x_k}$ , donc $\varphi(z) \geq g_{x_k}(z) > h(z) - \varepsilon$ . On a donc trouvé $\varphi \in B$ tel que : $\boxed{ \|h - \varphi\|_{\infty} \leq \varepsilon }$
Tout élément $h \in \mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ est dans l'adhérence de $B$ . Comme $B$ est déjà fermé et $B = \bar{A}$ , on a $B = \mathcal{C}(X, \mathbb{R})$ . L'algèbre $A$ est donc dense.

Nécessité de la séparation des points et de la présence des constantes.

Toute sous-algèbre séparante de C(K, R) contenant les constantes est dense.