Adhérence des combinaisons d'exponentielles

On considère l'espace vectoriel $\mathcal{B}(\mathbb{R}_+, \mathbb{C})$ des fonctions bornées de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{C}$ , muni de la norme de la convergence uniforme $\|\cdot\|_{\infty}$ .

Soit $V$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{B}(\mathbb{R}_+, \mathbb{C})$ engendré par la famille de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par :

\forall x \in \mathbb{R}_+,   f_n(x) = e^{-nx}

Déterminer l'adhérence $\overline{V}$ de $V$ dans $\mathcal{B}(\mathbb{R}_+, \mathbb{C})$ .

1.

Effectuer un changement de variable $t = e^{-x}$ pour transformer le problème sur un intervalle compact.

2.

Identifier la nature des fonctions appartenant à $V$ via ce changement de variable.

3.

Utiliser le théorème d'approximation de Weierstrass pour les fonctions continues sur un segment.

4.

Caractériser les fonctions de $\mathcal{B}(\mathbb{R}_+, \mathbb{C})$ qui sont limites uniformes d'éléments de $V$ en examinant la continuité et la limite en $+\infty$ .

Idées clés

•

Changement de variable compactifiant : $x \mapsto e^{-x}$ de $[0, +\infty[$ vers $]0, 1]$ .

•

Théorème d'approximation de Weierstrass.

•

Prolongement par continuité sur un segment.

Résolution.

Soit $f \in V$ . Par définition, $f$ est une combinaison linéaire finie des fonctions $f_n$ . Il existe donc un entier $N \in \mathbb{N}$ et des coefficients $(a_0, \dots, a_N) \in \mathbb{C}^{N+1}$ tels que :

\forall x \in \mathbb{R}_+,   f(x) = \sum_{n=0}^N a_n (e^{-x})^n

On remarque que si l'on pose $P = \sum_{n=0}^N a_n X^n \in \mathbb{C}[X]$ , alors :

\forall x \in \mathbb{R}_+,   f(x) = P(e^{-x})

Considérons l'application $\varphi : x \mapsto e^{-x}$ . Elle réalise une bijection de $[0, +\infty[$ sur $]0, 1]$ . Les éléments de $V$ sont les fonctions de la forme $P \circ \varphi$ , où $P$ est un polynôme.

Soit $\mathcal{C}_{lim}$ l'ensemble des fonctions $g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+, \mathbb{C})$ possédant une limite finie en $+\infty$ . Montrons que $\overline{V} = \mathcal{C}_{lim}$ .

Étape 1 : $\overline{V$ \subset \mathcal{C}_{lim} $\overline{V} \subset C_{l im}$ }

Toute fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ et admet une limite finie en $+\infty$ (1 si $n=0$ , 0 si $n \ge 1$ ). Ainsi, $V \subset \mathcal{C}_{lim}$ .

Or, $\mathcal{C}_{lim}$ est un sous-espace fermé de $(\mathcal{B}(\mathbb{R}_+, \mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty})$ . En effet, la continuité est préservée par convergence uniforme, et l'existence d'une limite finie en l'infini l'est également (propriété classique des espaces de fonctions).

Par conséquent, par définition de l'adhérence :

\boxed{\overline{V} \subset \mathcal{C}_{lim}}

Étape 2 : $\mathcal{C$ _{lim} \subset \overline{V} $C_{l im} \subset \overline{V}$ }

Soit $h \in \mathcal{C}_{lim}$ . On souhaite montrer que $h$ est limite uniforme d'éléments de $V$ . Posons la fonction $g$ définie sur $]0, 1]$ par :

\forall t \in ]0, 1],   g(t) = h(-\ln t)

Puisque $h$ est continue sur $[0, +\infty[$ , $g$ est continue sur $]0, 1]$ . De plus, quand $t \to 0^+$ , alors $-\ln t \to +\infty$ . Comme $h$ admet une limite finie en $+\infty$ , la fonction $g$ admet une limite finie en $0^+$ .

On peut donc prolonger $g$ par continuité en $0$ en posant $g(0) = \lim_{x \to +\infty} h(x)$ . La fonction $g$ ainsi prolongée est continue sur le segment $[0, 1]$ .

D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_n)$ convergeant uniformément vers $g$ sur $[0, 1]$ :

\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, \sup_{t \in [0, 1]} |g(t) - P_n(t)| \le \varepsilon

En revenant à la variable $x$ par le changement $t = e^{-x}$ , on a :

\sup_{x \in [0, +\infty[} |g(e^{-x}) - P_n(e^{-x})| = \sup_{t \in ]0, 1]} |g(t) - P_n(t)| \le \varepsilon

Comme $g(e^{-x}) = h(x)$ et que $x \mapsto P_n(e^{-x})$ appartient à $V$ , on en déduit que $h$ est limite uniforme d'éléments de $V$ . D'où :

\boxed{\mathcal{C}_{lim} \subset \overline{V}}

Conclusion :

\boxed{\overline{V} = \{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+, \mathbb{C}) \mid \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ existe et est finie} \}}

Oublier que la limite en l'infini est nécessaire pour l'approximation.

Utiliser un changement de variable pour se ramener à un segment compact.