Théorème du point fixe d'Edelstein

Soit $(E, d)$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie compacte non vide de $E$ . On considère une application $f : A \to A$ telle que :

\forall (x, y) \in A^2,   x \neq y \implies d(f(x), f(y)) < d(x, y)

Montrer que $f$ admet un unique point fixe dans $A$ .

1.

Pour l'existence, considérer la fonction $g : x \mapsto d(x, f(x))$ . Justifier qu'elle est continue sur le compact $A$ .

2.

Raisonner par l'absurde en supposant que le minimum de $g$ sur $A$ est strictement positif.

3.

Pour l'unicité, utiliser directement la propriété de contraction stricte.

Idées clés

•

Application du théorème des bornes atteintes sur un compact.

•

Continuité de la distance et d'une application contractante.

•

Raisonnement par l'absurde pour l'existence.

Résolution.

1. Existence du point fixe.

L'application $f$ vérifie $d(f(x), f(y)) \le d(x, y)$ pour tous $x, y \in A$ (l'inégalité est stricte si $x \neq y$ , et l'égalité est triviale si $x = y$ ). L'application $f$ est donc 1-lipschitzienne, ce qui implique qu'elle est continue sur $A$ .

Considérons l'application $g : A \to \mathbb{R}$ définie par :

g(x) = d(x, f(x))

Par composition et somme d'applications continues ( $x \mapsto x$ , $x \mapsto f(x)$ et la distance $d$ ), $g$ est continue sur le compact $A$ . D'après le théorème des bornes atteintes, $g$ admet un minimum sur $A$ . Il existe donc $z \in A$ tel que :

g(z) = \inf_{x \in A} g(x)

Supposons par l'absurde que $f(z) \neq z$ . Alors $d(z, f(z)) > 0$ . En appliquant l'hypothèse de l'énoncé au couple $(z, f(z))$ , on obtient :

d(f(z), f(f(z))) < d(z, f(z))

Ce qui se réécrit :

g(f(z)) < g(z)

Ceci contredit la minimalité de $g(z)$ puisque $f(z) \in A$ . L'hypothèse $f(z) \neq z$ est donc fausse. On en conclut que $g(z) = 0$ , soit :

\boxed{f(z) = z}

2. Unicité du point fixe.

Supposons qu'il existe deux points fixes distincts $z_1$ et $z_2$ dans $A$ . On a $z_1 \neq z_2$ , donc par hypothèse :

d(f(z_1), f(z_2)) < d(z_1, z_2)

Comme $f(z_1) = z_1$ et $f(z_2) = z_2$ , cette inégalité devient :

d(z_1, z_2) < d(z_1, z_2)

Ceci est absurde. Le point fixe est donc unique.

\boxed{\exists ! z \in A,   f(z) = z}

Ce théorème nécessite impérativement la compacité, contrairement au théorème de Picard.

Une application strictement contractante sur un compact admet un unique point fixe.