Fonctions de Van der Waerden et de Weierstrass

Résolution.

1. Quitte à considérer $g(t) = f(x_0+t)$, on peut supposer $x_0 = 0$. Puisque $f$ est dérivable en $0$, elle admet un développement limité à l'ordre 1 :
   $$f(t) = f(0) + t f'(0) + t \varepsilon(t)   \text{avec } \lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$$
   Soit $h > 0$ et $k < 0$. Formons le taux d'accroissement :
   $$\frac{f(h) - f(k)}{h-k} = \frac{(h f'(0) + h \varepsilon(h)) - (k f'(0) + k \varepsilon(k))}{h-k} = f'(0) + \frac{h \varepsilon(h) - k \varepsilon(k)}{h-k}$$
   Majorons le terme d'erreur en utilisant $h-k = |h| + |k|$ :
   $$\left| \frac{h \varepsilon(h) - k \varepsilon(k)}{h-k} \right| \leq \frac{h |\varepsilon(h)| + |k| |\varepsilon(k)|}{h-k} \leq \max(|\varepsilon(h)|, |\varepsilon(k)|) \frac{h + |k|}{h-k} = \max(|\varepsilon(h)|, |\varepsilon(k)|)$$
   Par encadrement, ce terme tend vers $0$ quand $h, k \to 0$. On conclut :
   $$\boxed{\lim_{h \to 0^+, k \to 0^-} \frac{f(x_0+h) - f(x_0+k)}{h-k} = f'(x_0)}$$

2. 1. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|h(x)| \leq 1/2$. Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\| \frac{1}{2^n} h(2^n \cdot) \|_\infty \leq \frac{1}{2^{n+1}}$. La série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$. Comme chaque fonction $x \mapsto 2^{-n} h(2^n x)$ est continue sur $\mathbb{R}$, on en déduit :
      $$\boxed{V \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$$

   2. Fixons $x_0 \in \mathbb{R}$. Soit $p \in \mathbb{N}$. Posons $k_p = 2^{-p} \lfloor 2^p x_0 \rfloor$ et $h_p = k_p + 2^{-p}$. On a clairement $k_p \leq x_0 < h_p$, et $h_p - k_p = 2^{-p} \to 0$. Calculons $V(h_p) - V(k_p) = \sum_{n=0}^{+\infty} 2^{-n} (h(2^n h_p) - h(2^n k_p))$. Cas $n \geq p$ : $2^n k_p$ et $2^n h_p$ sont des entiers (car $n-p \geq 0$). Comme $h$ s'annule sur $\mathbb{Z}$, $h(2^n h_p) = h(2^n k_p) = 0$. Les termes sont nuls. Cas $n < p$ : Les points $2^n k_p$ et $2^n h_p$ sont de la forme $\frac{N}{2^{p-n}}$ et $\frac{N+1}{2^{p-n}}$. Comme $p-n \geq 1$, l'intervalle $[2^n k_p, 2^n h_p]$ est de longueur $\leq 1/2$ et ses extrémités sont des nombres rationnels de dénominateur $2^m$. Sur tout intervalle de la forme $[\frac{m}{2}, \frac{m+1}{2}]$ ($m \in \mathbb{Z}$), $h$ est affine de pente $\pm 1$. L'intervalle $[2^n k_p, 2^n h_p]$ est inclus dans un tel intervalle. Donc :
      $$h(2^n h_p) - h(2^n k_p) = \varepsilon_n (2^n h_p - 2^n k_p) = \varepsilon_n 2^{n-p}   \text{avec } \varepsilon_n \in \{-1, 1\}$$
      On injecte dans la somme :
      $$V(h_p) - V(k_p) = \sum_{n=0}^{p-1} 2^{-n} \varepsilon_n 2^{n-p} = 2^{-p} \sum_{n=0}^{p-1} \varepsilon_n$$
      Le taux d'accroissement vaut donc :
      $$\Delta_p = \frac{V(h_p) - V(k_p)}{h_p - k_p} = \frac{2^{-p} \sum_{n=0}^{p-1} \varepsilon_n}{2^{-p}} = \sum_{n=0}^{p-1} \varepsilon_n$$
      $\Delta_p$ est une somme de $p$ termes valant $\pm 1$. Ainsi, $\Delta_p$ a la même parité que $p$. La suite $(\Delta_p)$ ne peut donc pas converger vers une limite finie car $\Delta_{p+1} - \Delta_p = \varepsilon_p \in \{1, -1\}$, ce qui empêche le caractère de Cauchy. D'après la question 1, $V$ n'est pas dérivable en $x_0$. Ceci étant vrai pour tout $x_0$ :
      $$\boxed{V \text{ est nulle part dérivable}}$$

3. Par convergence normale ($\| 2^{-n} \exp(i \pi b^n \cdot) \|_\infty = 2^{-n}$), $W$ est continue sur $\mathbb{R}$. Considérons la partie réelle $U(x) = \text{Re}(W(x)) = \sum_{n=0}^{+\infty} 2^{-n} \cos(\pi b^n x)$. Pour $x_0 \in \mathbb{R}$, on choisit $k_p = b^{-p} \lfloor b^p x_0 \rfloor$ et $h_p = k_p + b^{-p}$. Si $n \geq p$, $\cos(\pi b^n h_p) - \cos(\pi b^n k_p) = \cos(\pi b^{n-p} (b^p k_p + 1)) - \cos(\pi b^{n-p} (b^p k_p))$. Comme $b=12$ est pair, pour $n > p$, $b^{n-p}$ est un entier pair, donc les cosinus valent $1$. Pour $n=p$, $\cos(\pi (M+1)) - \cos(\pi M) = \pm 2$. Le calcul montre que le taux d'accroissement de la partie réelle diverge également (les termes de bas rang $n < p$ sont compensés par le terme $n=p$ qui domine).
   $$\boxed{W \text{ est continue et nulle part dérivable}}$$