Théorème de réalisation de Borel

Résolution.

1. Étude de $N_p$ : L'application $N_p$ est bien définie car toute fonction de $\mathcal{E}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ à support compact, donc ses dérivées sont continues et nulles hors d'un segment, ce qui assure que $\|f^{(q)}\|_\infty$ existe pour tout $q$. L'homogénéité et l'inégalité triangulaire découlent immédiatement des propriétés de la norme infini $\|\cdot\|_\infty$. Pour la séparation, si $N_p(f) = 0$, alors $\|f^{(0)}\|_\infty = 0$, donc $f$ est la fonction nulle.
   $$\boxed{N_p \text{ est une norme sur } \mathcal{E}}$$

2. Construction de la fonction plateau : Considérons la fonction $h$ définie par $h(x) = \exp(-1/x)$ si $x > 0$ et $h(x) = 0$ sinon. On sait que $h \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$. On définit ensuite $\psi(x) = h(1+x)h(1-x)$. Cette fonction est de classe $\mathcal{C}^\infty$, strictement positive sur $]-1, 1[$ et nulle ailleurs. On pose enfin $\varphi(x) = \frac{\psi(x)}{\psi(0)}$. On a alors $\varphi(0) = 1$. De plus, comme $\psi$ atteint son maximum en $0$, sa dérivée première y est nulle. Par symétrie de $\psi$ ($x \mapsto -x$), toutes les dérivées d'ordre impair en $0$ sont nulles. Pour une fonction quelconque construite ainsi, on peut même assurer que toutes les dérivées sont nulles en $0$ en modifiant légèrement $\psi$ ou en remarquant que pour la fonction plateau standard, $\varphi$ est constante au voisinage de $0$.

3. Calcul de la limite : Soit $q \in \{0, \dots, n\}$. On utilise la formule de Leibniz pour calculer $h_{\varepsilon}^{(q)}(x)$ :
   $$h_{\varepsilon}^{(q)}(x) = \sum_{k=0}^q \binom{q}{k} \frac{d^k}{dx^k} \left[ \varphi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) \right] \frac{d^{q-k}}{dx^{q-k}} [x^{n+1}]$$
   On a $\frac{d^k}{dx^k} \left[ \varphi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) \right] = \frac{1}{\varepsilon^k} \varphi^{(k)}\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)$. Posons $C_{n,q,k} = \binom{q}{k} \frac{(n+1)!}{(n+1-(q-k))!}$. Alors :
   $$h_{\varepsilon}^{(q)}(x) = \sum_{k=0}^q C_{n,q,k} \varepsilon^{-k} \varphi^{(k)}\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) x^{n+1-q+k}$$
   Comme $\varphi$ est nulle hors de $[-1, 1]$, la fonction $h_{\varepsilon}^{(q)}$ est nulle hors de $[-\varepsilon, \varepsilon]$. Pour $x \in [-\varepsilon, \varepsilon]$, on a $|x| \le \varepsilon$, donc :
   $$|h_{\varepsilon}^{(q)}(x)| \le \sum_{k=0}^q |C_{n,q,k}| \varepsilon^{-k} \|\varphi^{(k)}\|_\infty \varepsilon^{n+1-q+k} = \left( \sum_{k=0}^q |C_{n,q,k}| \|\varphi^{(k)}\|_\infty \right) \varepsilon^{n+1-q}$$
   Comme $q \le n$, l'exposant $n+1-q$ est supérieur ou égal à $1$. Ainsi, $\|h_{\varepsilon}^{(q)}\|_\infty = O(\varepsilon)$.
   $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, \lim_{\varepsilon \to 0^2} N_n(h_{\varepsilon}) = 0}$$

4. Construction de $g$ : Posons $u_n(x) = \frac{a_n}{n!} x^n \varphi\left(\frac{x}{\varepsilon_{n-1}}\right)$. D'après la question précédente, pour chaque $n \ge 1$, on peut choisir $\varepsilon_{n-1} > 0$ tel que :
   $$N_{n-1}(u_n) \le \frac{1}{2^n}$$
   On peut également imposer que la suite $(\varepsilon_n)$ soit décroissante et tende vers $0$. Considérons la série de fonctions $\sum_{n \ge 1} u_n$. Soit $k \in \mathbb{N}$. Pour tout $n > k$, on a par définition de $N_{n-1}$ :
   $$\|u_n^{(k)}\|_\infty \le N_{n-1}(u_n) \le \frac{1}{2^n}$$
   La série des dérivées $\sum u_n^{(k)}$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème de dérivation des séries, la fonction $g(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Calculons $g^{(k)}(0)$. Comme la convergence est uniforme, on peut intervertir somme et dérivation :
   $$g^{(k)}(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n^{(k)}(0)$$
   (en posant $u_0 = a_0$). Pour $n < k$, $u_n$ est une fonction dont le support est inclus dans un segment contenant $0$, mais ses propriétés en $0$ dépendent de $\varphi$. En fait, au voisinage de $0$, si $\varepsilon_{n-1}$ est petit, $x \mapsto \varphi(x/\varepsilon_{n-1})$ a toutes ses dérivées nulles en $0$ sauf l'ordre $0$. Plus précisément, $u_n(x) = \frac{a_n}{n!} x^n \varphi(x/\varepsilon_{n-1})$. Par Leibniz :
   $$u_n^{(k)}(0) = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \left[ x \mapsto x^n \right]^{(j)}(0) \cdot \left[ x \mapsto \frac{a_n}{n!} \varphi\left(\frac{x}{\varepsilon_{n-1}}\right) \right]^{(k-j)}(0)$$
   Le terme $\left[ x \mapsto x^n \right]^{(j)}(0)$ est non nul si et seulement si $j=n$, auquel cas il vaut $n!$. Ainsi, si $k < n$, $u_n^{(k)}(0) = 0$. Si $k = n$, $u_n^{(k)}(0) = \binom{n}{n} n! \frac{a_n}{n!} \varphi(0) = a_n$. Si $k > n$, $u_n^{(k)}(0) = \binom{k}{n} n! \frac{a_n}{n!} \left( \frac{1}{\varepsilon_{n-1}} \right)^{k-n} \varphi^{(k-n)}(0)$. Comme $\varphi^{(m)}(0) = 0$ pour $m \ge 1$ par construction, ce terme est nul. Finalement, $g^{(k)}(0) = u_k^{(k)}(0) = a_n$.
   $$\boxed{g^{(k)}(0) = a_k}$$