Agrégation sciences industrielles de l'ingénieur externe 2022, épreuve 2, option ingénierie électriqueSujet et rapport du jury

Agrégation externe section sciences industrielles de l'ingénieur option sii et ingénierie électrique - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2022

Pas encore noté

Statique des fluides (équilibre hydrostatique)
Asservissement et automatique (fonctions de transfert, critère de Nyquist)
Modélisation électrothermique et linéarisation
Valeurs propres et stabilité d'un système linéaire
Traitement du signal et problème inverse (moindres carrés, filtre de Wiener)

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Présentation du sujet

Difficile

Un télescope embarqué sous ballon stratosphérique pour mesurer le fond diffus cosmologique

Le sujet étudie une expérience scientifique embarquée sous un ballon stratosphérique, portant un télescope destiné à cartographier le fond diffus cosmologique. Il aborde successivement l'équilibre hydrostatique du ballon, l'asservissement du pointage en azimut du télescope, l'instrumentation photométrique par bolomètres supraconducteurs, puis le traitement du signal pour mesurer le fond diffus cosmologique.

1Partie A : étude de l'équilibre hydrostatique de l'expérienceÉtudier le régime d'équilibre statique du ballon pour déterminer son altitude stationnaire à partir de relevés d'altitude, température et pression.
2Partie B : asservissement et performance du pointage en azimut du télescopeModéliser et étudier la stabilité de l'asservissement du moteur à courant continu qui commande le pointage en azimut de la nacelle.
3Partie C : instrumentation photométrique et bolomètresÉtudier le modèle électrothermique d'un bolomètre supraconducteur, sa linéarisation autour d'un point de fonctionnement et sa stabilité.
4Partie D : mesure du fond diffus cosmologiqueTraiter le signal mesuré pour estimer les paramètres de Stokes puis appliquer une déconvolution par filtre de Wiener.

Difficile. Les parties C et D, plus délicates, n'ont pas été bien traitées : seulement 28 % des candidats ayant abordé la partie C et 18 % ayant abordé la partie D ont obtenu une note supérieure à la moyenne de leur partie.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Volume du ballon mal connu · Opérations mathématiques élémentaires mal maîtrisées · Linéarisation de la résistance mal traitée

La partie B, sur l'asservissement, est la mieux traitée du sujet avec 45 % des candidats l'ayant abordée au-dessus de la moyenne, alors que les parties C et D, plus délicates sur le plan conceptuel, n'ont été bien traitées que par une minorité de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Volume du ballon mal connu
Concernant le calcul du volume du ballon sphérique, uniquement la moitié des candidats en connaissent l'expression.
2
Opérations mathématiques élémentaires mal maîtriséesQB5-QB6
De nombreux candidats rencontrent des difficultés pour effectuer des opérations élémentaires comme la détermination d'une relation entrée-sortie ou la mise sous forme canonique.
3
Linéarisation de la résistance mal traitéeQ6
La linéarisation de la résistance du bolomètre, bien que le développement au premier ordre soit donné, n'a été traitée correctement que par 9 % des candidats.
4
Calcul des valeurs propres pour la stabilité peu maîtriséQ12
Le calcul des valeurs propres de la matrice d'évolution, qui conditionne la stabilité du modèle, n'est maîtrisé que par 6 % des candidats.

Ce qui a été bien réussi

La partie A a été abordée par 94 % des candidats et relativement bien traitée, avec la moitié du questionnement très accessible.
Les quatre premières questions de la partie B sont plutôt bien traitées avec en moyenne une moitié de réponses correctes.
Les deux questions aboutissant à l'équation électrique du bolomètre (partie C) sont très bien traitées par la moitié des candidats.

Conseils du jury

Privilégier une réflexion d'ensemble sur la partie abordée plutôt qu'un éparpillement des réponses sur l'ensemble du sujet.
Revoir les opérations mathématiques élémentaires du traitement des fonctions de transfert (relation entrée-sortie, forme canonique).
S'entraîner à la linéarisation d'une fonction de plusieurs variables autour d'un point de fonctionnement.
Ne pas négliger l'étude de la stabilité par les valeurs propres d'une matrice d'évolution.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en sciences industrielles de l'ingénieur, session 2022.

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AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : SCIENCES INDUSTRIELLES DE L'INGÉNIEUROption : SCIENCES INDUSTRIELLES DE L'INGÉNIEUR ET INGÉNIERIE ÉLECTRIQUE

MODÉLISATION D'UN SYSTÈME, D'UN PROCÉDÉ OU D'UNE ORGANISATION

Durée : 6 heures

Calculatrice autorisée selon les modalités de la circulaire du 17 juin 2021 publiée au BOEN du 29 juillet 2021.

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

La mission scientifique Pilot Une expérience embarquée sous un ballon stratosphérique

Ce sujet comporte quatre parties indépendantes :

A- Etude de l'équilibre hydrostatique de l'expérience
B- Asservissement et performance du pointage en azimut du télescope
C- Instrumentation photométrique et bolomètres
D- Mesures du fond diffus cosmologique

Une lecture préalable et complète du sujet est indispensable.
Il sera tenu compte de la cohérence avec laquelle les candidats traiteront chaque partie, le jury préférant une réflexion d'ensemble de la partie abordée à un éparpillement des réponses.

Les candidats sont invités à numéroter chaque page de leur copie et à indiquer clairement le numéro de la question traitée.

Les candidats sont priés de rédiger chacune des quatre parties du problème sur feuilles séparées et clairement repérées.

Il leur est rappelé qu'ils doivent utiliser les notations propres au sujet, présenter clairement les calculs et dégager ou encadrer tous les résultats.

Tout résultat incorrectement exprimé ou non justifié ne sera pas pris en compte. En outre les correcteurs leur sauront gré d'écrire lisiblement et de soigner la qualité de leur copie.

Il sera tenu compte de la qualité de rédaction, en particulier pour les réponses aux questions ne nécessitant pas de calcul. Le correcteur attend des phrases complètes respectant la syntaxe de la langue française.

Pour la présentation des applications numériques, il est rappelé que lors du passage d'une forme littérale à son application numérique, il est recommandé aux candidats de procéder comme suit : après avoir rappelé la relation littérale, chaque grandeur est remplacée par sa valeur numérique en respectant la position qu'elle avait dans la relation puis le résultat numérique est donné sans calculs intermédiaires et sans omettre son unité. Si le texte du sujet, ses questions ou ses annexes conduisent à formuler une ou plusieurs hypothèses, il est demandé de la (ou les) mentionner explicitement dans la copie.

Ce sujet est accompagné de documents réponses à rendre avec la copie.
Notation : Les grandeurs physiques sont définies par des lettres minuscules dans le domaine temporel et par des lettres majuscules dans le domaine transformé de Laplace

(L)

ou de Fourier

(F)

Exemple :

c_m(t) \to ^L C_m(p); c_m(t)\to-^F C_m(ω)

Introduction et contexte

Du « Trou dans le ciel » aux poussières du milieu interstellaire
Les régions sombres de la Voie Lactée ont été observées dès la fin du XVIIIe siècle par Sir William Herschel. Il les qualifie de « Holes in the sky », et les représente comme des espaces vides entourés d'étoiles. Cette vision reste communément admise jusqu'au début du XXe siècle. C'est en 1930 que J. Trumpler démontre, par ses observations, la

Images du nuage moléculaire Barnard 68 : une grande concentration de poussière et de gaz moléculaire absorbe pratiquement toute la lumière visible émise par les étoiles de l'arrière-plan, c'est l'image de gauche prise dans le domaine visible et dans l'infrarouge moyen à droite.

présence de grains de poussières à l'origine de ces zones sombres. L'extinction stellaire est alors étudiée dans un premier temps, uniquement dans l'objectif de pouvoir soustraire son impact sur les données d'observations du rayonnement des étoiles. À la fin des années 1940, John S. Hall et W.A. Hiltner découvrent la polarisation stellaire. Ils montrent ainsi la présence d'un champ magnétique dans le milieu interstellaire et son lien avec les poussières. La découverte du fond diffus cosmologique dans les années 1960, renforce l'intérêt pour les poussières. Constituant à grandes longueurs d'onde une émission d'avant plan, la compréhension de leurs propriétés devient alors une préoccupation majeure pour le traitement des données cosmologiques. Depuis les travaux de Trumpler, de nombreuses observations de l'extinction et de la polarisation stellaire ont été effectuées. Cependant pour comprendre l'ensemble des propriétés des grains de poussières, il est nécessaire d'effectuer des observations à grandes longueurs d'onde et notamment dans le domaine submillimétrique. Actuellement peu de données sont disponibles dans cette gamme de longueurs d'onde.

L'expérience scientifique PILOT

La mission PILOT

^1

s'inscrit dans ce contexte. Le milieu interstellaire, que constitue l'espace entre les étoiles, est un mélange de gaz et de poussières. La densité de ce milieu varie, en nombre de particules par

cm^3

, de quelques unités dans les zones les plus diffuses à quelques dizaines ou centaines de milliers dans les régions les plus denses. Les objets les plus compacts, comme les planètes et les étoiles, ne représentent finalement qu'une faible proportion du volume total de la Galaxie. En effet, le milieu interstellaire est si vaste, que bien qu'extrêmement ténu, il contient environ 10 % de la masse totale de la Voie Lactée. L'objectif de cette mission scientifique est l'étude de l'émission polarisée des

grains de poussières du milieu interstellaire dans deux bandes centrées autour de 240 et

550μ m

. Cette expérience, embarquée sous un ballon stratosphérique, a permis de cartographier le champ magnétique de la Galaxie à grande échelle avec une résolution de l'ordre de la minute d'arc. Avec trois vols, deux depuis l'hémisphère Nord et un depuis l'hémisphère Sud, ainsi qu'une autonomie en vol d'environ 24 heures, des relevés systématiques couvrant l'intégralité du plan Galactique ont été réalisés.

L'instrument scientifique PILOT intégré dans la nacelle est embarqué sous le ballon stratosphérique

Technologie mise en œuvre et instrumentation

Le sujet désignera par « l'expérience » l'ensemble constitué du ballon stratosphérique ouvert à sa base

^2

, de la chaîne de vol et de la nacelle qui porte l'instrumentation scientifique. L'instrumentation scientifique est constituée d'un télescope de type Grégory. Dans le plan focal du système optique se trouvent deux blocs de matrices de bolomètres refroidis à

0, 3K

. Ils sont intégrés dans un cryostat avec l'ensemble des éléments optiques à l'exception du miroir primaire qui est à température ambiante. Pour s'affranchir de l'absorption due à l'atmosphère terrestre, l'observation se déroulera à

40km

d'altitude grâce à un ballon stratosphérique de plus de

800000m^3

développé par le CNES.

A - Étude de l'équilibre hydrostatique de l'expérience

Objectif général
Déterminer l'altitude atteinte par le ballon lorsqu'il est en phase d'observations et de mesures.

La figure 1 représente le modèle simplifié de l'expérience composée :

-du ballon qui est une structure sphérique de rayon $R_b$ . Elle est indéformable, gonflé à l'hélium, de volume constant $v_b$ quelle que soit l'altitude. Son enveloppe est de masse $m_b$ .
-d'une chaîne de vol de longueur $L$ et de masse négligeable ;
-l'instrumentation scientifique est portée par la nacelle de masse $m_n$ fixée à la chaîne de vol.

Hypothèses et notations :

-l'altitude, suivant un axe vertical orienté vers le haut, est désignée par $z$ avec pour origine le sol tel que $z = z_0 = 0$ ;
-les forces en présence ont une projection unique suivant l'axe vertical $(Oz)$ de vecteur unitaire $e⃗_z$ orienté vers le haut ;
-la notation $F⃗_a = F_a e⃗_z$ désigne le vecteur $F⃗_a$ qui a une composante unique suivant $e⃗_z$ de module $F_a$ ;
-on se limite au cas d'une atmosphère isotherme et au repos pour laquelle la température est uniforme et vaut $T_a = 273 K$ indépendante de l'altitude $z$ .

Figure 1 : modèle de l'expérience PILOT

Masse du ballon	$m_b = 2000$	[kg]
Masse de la nacelle et de l'instrumentation	$m_n = 1100$	[kg]
Rayon du ballon gonflé à l'hélium	$R_b = 58$	$[m]$
Pression atmosphérique à l'altitude $z = z_0 = 0$	$P(z_0) = 1, 03 \times 10^5$	[Pa]
Température de l'atmosphère supposée isotherme	$T_a = 273$	[K]
Constante des gaz parfaits	$R = 8, 31$	$[J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)]$
Masse de l'hélium contenue dans le ballon	$m_(he)(z)$	[kg]
Masse volumique de l'hélium en grammes par litre à $z = z_0$	$ρ_(he)(z_0) = 0, 1786$	$[g \cdot l^(- 1)]$
Module de la force qui est à l'origine de la flottabilité.	$F_a$	[ $N$ ]
Masse molaire de l'air	$M_(air) = 29$	$[g \cdot mol^(- 1)]$
Masse molaire de l'hélium	$M_(he) = 4$	$[g \cdot mol^(- 1)]$
Accélération de la pesanteur	$g$	$9, 81[m \cdot s^(- 2)]$

Tableau 1 Données correspondant aux conditions de l'expérience

QA-1 Expliquer qualitativement l'évolution du processus physique qui permet de sustenter le ballon et son instrumentation de son décollage pour

z = z_0 = 0

jusqu'à son équilibre hydrostatique à l'altitude

z = z_h

. Quel est le nom de la force à l'origine de la flottabilité ?

QA-2 Calculer le volume

v_b

du ballon, en déduire la masse d'hélium

m_(he)(z_0)

contenue dans son enveloppe au décollage.

Après une première phase ascensionnelle, le ballon atteint l'altitude

z = z_h

et se déplace ensuite au gré des écoulements aérologiques de la haute atmosphère.

QA-3 En précisant bien dans la notation définie dans le tableau 1 la référence à la hauteur

z_h

qui correspond au régime d'équilibre statique :

-énoncer l'ensemble des forces en présence qui s'exercent sur le ballon ;
-en déduire l'équation vectorielle d'équilibre hydrostatique ;
-exprimer ce résultat en fonction de la force qui est à l'origine de la flottabilité, des masses en présence et de la gravité $g$ .

Dans le cadre des hypothèses énoncées, un ballon stratosphérique ouvert est tel que son volume est constant, la pression est identique à l'intérieur et à l'extérieur du ballon. En conséquence, la masse
d'hélium contenue dans le ballon diminue avec la hauteur

z

jusqu'à son d'équilibre hydrostatique à

z =

z_h

QA-4 Donner l'expression de la composante ascensionnelle pour une altitude

z

de l'expérience.

Les conditions de l'expérience permettent de considérer l'air comme un gaz parfait. Cette loi générale met en relation la pression

P

, le volume

V

, la température

T

. Elle s'exprime par le modèle thermodynamique suivant :

PV = nRT

n

R

désignent respectivement la quantité de matière (mole) contenue dans le volume

V

et la constante universelle des gaz parfaits

(J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1))

.
En références aux données définies dans le tableau 1 et aux hypothèses qui ont été posées, le modèle précédent se décline par l'expression suivante :

P(z)v_b = nRT_a

QA-5 Exprimer la masse volumique de l'air

ρ_(air)(z)

puis la décliner en fonction de sa masse molaire

M_(air)

, de la pression

P(z)

, de la constante

R

et de la température

T_a

. En déduire l'expression de la force ascensionnelle qui sustente le ballon en fonction des grandeurs définies précédemment.

QA-6 En utilisant le résultat trouvé en QA-3, exprimer la pression

P(z_h)

à l'altitude

z = z_h

en fonction des paramètres du modèle puis calculer sa valeur numérique.

L'atmosphère est considérée comme un fluide gazeux à l'équilibre et isotherme. Cette hypothèse permet d'obtenir une équation d'évolution simple de la pression

P(z)

en fonction de l'altitude qui est définie par l'expression suivante :

P(z) = P(z_0)e^(- z/(z_e))

La constante

z_e = (RT_a)/(M_(air)g)

peut être définie comme l'épaisseur de l'atmosphère isotherme.
Dès son ascension, de nombreuses données sont transmises à une station sol. Entre autres, les mesures de l'altitude, de la température et de la pression permettent d'identifier les différentes phases du vol. Un de ces relevés est représenté sur la figure 2.

QA-7 Calculer l'épaisseur de l'atmosphère isotherme

z_e

puis en déduire l'altitude

z_h

qui correspond à l'équilibre hydrostatique du ballon.

Synthèse et conclusion : analyse et discussion autour du modèle proposé.

QA-8 À l'aide des mesures représentées sur la figure 2, préciser la démarche permettant d'estimer l'épaisseur de l'atmosphère isotherme

z_e

Conclure sur le modèle proposé et les hypothèses sous-jacentes.

Figure 2

Relevés de mesures obtenues lors d'un vol

B - Asservissement et performance du pointage en azimut du télescope

Objectif général
Approcher l'asservissement du système de pointage en azimut du télescope embarqué sur la nacelle.

B - 1 Des généralités sur le principe du pointage en azimut
La nacelle et son instrumentation sont suspendues au ballon par la chaîne de vol reliée à la base de la nacelle par un pivot motorisé. C'est un moteur à courant continu (MCC) qui a son rotor relié à la chaine de vol et le stator à la nacelle. Le pointage en azimut consiste principalement à commander ce pivot qui « tord » la chaîne de vol et entraîne la nacelle en rotation autour de son axe.
À cet objectif qui est d'asservir en azimut le positionnement du télescope à une consigne, il doit aussi amortir les modes de torsion qui sont en limite de stabilité en boucle ouverte.

Figure 3
Représentation de la nacelle de l'expérience PILOT et du pivot motorisé embarqués sous le ballon stratosphérique

La rotation du pivot motorisé va créer un couple grâce à la raideur de la chaîne de vol et, en s'appuyant sur cette raideur, engendrer une rotation de la nacelle. Ainsi, si le pivot motorisé applique un couple

c_m(t)

sur la nacelle, il applique également en réaction un couple

- c_m(t)

sur la chaîne de vol. Le pivot motorisé est équipé d'un capteur qui fournit une mesure de vitesse relative entre rotor et stator donc
entre la chaine de vol et la nacelle, à partir de laquelle un couple d'amortissement est calculé de façon à stabiliser ses modes de torsion.

B - 2 Architecture de contrôle en azimut

Objectif
L'objectif de cette sous-partie est de compléter le modèle présenté sur la figure 5 en s'aidant de la représentation proposée sur la figure 4.

Le schéma symbolique de l'ensemble {nacelle, pivot motorisé, chaîne de vol} est représenté sur la figure 4. Les paramètres du modèle sont définis dans le tableau 2 ci-dessous.

$C_θ(p)$	$[Nm \cdot rd^(- 1)]$	Correcteur de la boucle azimut
$C_v(p)$	[SD]	Correcteur de la boucle de vitesse
$C_c(p)$	$[V \cdot Nm^(- 1)]$	Correcteur de la boucle de couple
$C_m(p)$	$[Nm]$	Couple moteur produit par le pivot
$θ_c(p)$	[rd]	Azimut de consigne nacelle
$θ_p(p)$	[rd]	Torsion de la chaîne de vol
$θ_n(p)$	[rd]	Azimut de la nacelle
$Ω_m(p)$	$[rd \cdot s^(- 1)]$	Vitesse de rotation du MCC : $Ω_m(p) = p(θ_n(p) - θ_p(p))$
$U_m(p)$	$[V]$	Tension aux bornes de l'induit du MCC
$I_m(p)$	$[A]$	Courant dans l'induit du MCC
$K_m$	$[Nm \cdot V^(- 1)]$	Constante du MCC.
$K_e$	$[V \cdot s \cdot rd^(- 1)]$	Force contre électromotrice du MCC
$K_c$	$[Nm \cdot A^(- 1)]$	Constante de couple du MCC
$R$	$[Ω]$	Résistance d'induit du MCC
$q$	$[V \cdot s \cdot rd^(- 1)]$	Gain de la génératrice tachymétrique
$I_p$	$[kg \cdot m^2]$	Moment d'inertie composant la chaine de vol et le « rotor » du MCC
$I_n$	$[kg \cdot m^2]$	Moment d'inertie composant la nacelle et le « stator » du MCC
$k_(cdv)$	$[Nm \cdot rd^(- 1)]$	Constante de raideur de la chaîne de vol

Tableau 2 Définition des paramètres du modèle

L'inductance d'induit du MCC introduit une constante de temps très faible devant la dynamique du système, elle sera donc négligée dans le modèle.
QB-1 Représenter le modèle de la maille d'induit du MCC et donner son équation ainsi que l'expression du couple moteur en fonction du courant d'induit.

Figure 4 Représentation symbolique de l'ensemble {nacelle, pivot motorisé et CDV}

QB-2 Déduire du précédent résultat l'expression du couple en fonction de la tension

u_m(t)

aux bornes du moteur et de sa vitesse

ω_m(t)

dans le domaine transformé de Laplace.
On posera

K_m = (K_c)/R

L'inertie du ballon est importante devant le reste du système, il est alors pertinent de faire l'hypothèse d'un modèle de pendule à point fixe.
Le bilan des actions mécaniques extérieures auquel s'ajoute l'application du principe fondamental de la dynamique permet de poser les équations associées à chacun des deux angles

θ_n(t)

θ_p(t)

en fonction des paramètres du modèle définis dans le tableau 2, soit :

{I_n(d^2 θ_n(t))/(dt^2) = c_m(t); I_p(d^2 θ_p(t))/(dt^2) = − c_m(t) − k_(cdv)θ_p(t)

QB-3 Justifier ce résultat et en déduire les équations dans le domaine transformé de Laplace.

L'architecture du pointage en azimut s'articule autour de trois boucles d'asservissement imbriquées qui reposent sur les mesures :

-de vitesse tachymétrique du pivot : vitesse relative du rotor pivot par rapport au stator (nacelle) ;
-de couple imprimé à la nacelle (couple-mètre mécanique) ;
-d'azimut via une hybridation entre un magnétomètre et un gyromètre.

Le modèle de la commande du pointage en azimut est représenté sur la figure 5.

L'objectif des questions suivantes porte sur la réduction du modèle en deux étapes :

-une première réduction qui vise à compléter le modèle de commande après avoir identifié les fonctions de transfert $F(p), I(p), M(p)$ et $N(p)$ ;
-une seconde réduction afin d'en déduire la fonction de transfert en boucle ouverte en vue d'étudier la stabilité.

Figure 5 Modèle de la commande du pointage en azimut

QB-4 Avec l'aide des résultats obtenus aux questions QB-2 et QB-3 et de la figure 5, identifier les fonctions de transfert

F(p), I(p), M(p)

N(p)

puis compléter le modèle proposé sur le document réponse DR1 relatif à cette question.

La fonction de transfert

G(p) = (θ_n(p) - θ_p(p))/(θ_n(p))

est définie à partir des propriétés de la chaine de vol,

Figure 6 Modèle transformé de la commande du pointage en azimut

QB-5 Déterminer les fonctions de transferts

G(p), H(p)

Q(p)

du modèle de la commande réduit du pointage en azimut présenté sur la figure 6 ci-dessus.
Compléter le modèle joint au document réponse DR1.

QB-6 A partir du résultat précédent, en déduire la fonction de transfert en boucle ouverte

FTBO_θ(p) =

(θ_n(p))/(ε(p))

. Le résultat sera exprimé en fonction de

G(p), C_θ(p), C_c(p), C_v(p)

et des constantes définies dans le tableau 2.

Le résultat suivant est considéré :

FTBO_θ(p) = (K_m C_c(p)C_v(p)C_θ(p))/(I_n p^2(1 + K_m C_c(p)C_v(p)) + pG(p)K_m(qC_v(p) + K_e))

Sur le support fréquentiel d'intérêt, au voisinage du point critique, le terme

K_m C_c(p), C_v(p)

est supposé grand devant 1 et la constante de force électromotrice

K_e

petite devant le retour tachymétrique. Sous réserve de cette restriction, on admettra que la fonction de transfert en boucle ouverte FTBO

_θ(p)

s'identifie à l'écriture équivalente suivante que l'on retiendra dans la suite du sujet :

FTBO_θ(p) = (C_c(p)C_θ(p))/(I_n p^2 C_c(p) + pqG(p))

En conséquence et en première approximation, ni le retour tachymétrique ni le contrôleur en vitesse n'ont d'effet direct sur la commande de l'angle

θ_n

La fonction de transfert de la chaîne de vol

G(p)

tient une place importante dans la stabilité du système.

L'objectif des questions suivantes porte l'étude de deux situations :
Cas 1 : Le cas d'une chaine de vol infiniment souple qui mène à avoir

G(p) = 0

Cas 2 : La chaîne de vol a pour modèle la fonction de transfert

G(p)

établie à la question QB-5.

Cas 1 : chaîne de vol infiniment souple, soit

G(p) = 0

.
QB-7 Quelle est l'expression de la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte

FTBO_θ(p)

? Le contrôleur

C_θ(p) = 1

, justifier le fait que la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte

FTBO_θ(p)

soit instable en boucle fermée.

Avec pour objectif d'assurer une marge de phase et de gain suffisante tout en augmentant la dynamique du système, le contrôleur

C_θ(p)

est intégré dans la chaîne directe. La structure retenue a pour fonction de transfert :

C_θ(p) = K_θ(1 + aτp)/(1 + τp)

Un placement judicieux du pôle et du zéro du contrôleur

C_θ(p)

par rapport à la fonction de transfert déterminée à la question QB-7 permet de satisfaire les contraintes précédentes.

QB-8 Déterminer les trois pulsations qui caractérisent la fonction de transfert en boucle ouverte

FTBO_θ(p)

QB-9 Préciser les conditions que doivent vérifier ces pulsations pour atteindre l'objectif fixé en les classant par ordre décroissant.

La fonction de transfert corrigée en boucle ouverte est représentée sur le document DR2.
Pour rappel, la bande passante est définie comme la pulsation pour laquelle le gain (dB) est nulle.
QB-10 Compléter le document DR2 en précisant sur le graphique, par un trait vertical, les nouvelles marges de phase et de gain ainsi que leur estimation.

Conclure sur la stabilité du système corrigé et de sa bande passante.

Cas 2 : chaîne de vol avec

G(p)

déterminé à la question QB-5.
La fonction de transfert

G(p)

est le modèle de la chaîne de vol. Elle contient l'information qui la caractérise et notamment le mode souple en torsion. L'objectif est de montrer qu'il est nécessaire, avec cette architecture, de limiter la bande passante du contrôleur en-deçà du pôle de la chaine de vol.

QB-11 Déterminer la forme canonique de

G(p)

afin d'exhiber son gain statique

G(0)

ainsi que les pulsations du zéro de transfert

ω_z

et du pôle

ω_p

de la chaîne de vol.

QB-12 Déduire du précédent résultat la fonction de transfert harmonique

G(jω)

puis calculer ses module et argument.

QB-13 Esquisser la représentation du module, de la phase et des asymptotes sur le document DR3. Préciser les valeurs caractéristiques des pulsations, gain statique et pentes des asymptotes.
Commenter l'allure de la phase et la commandabilité de ce système.
Afin de simplifier l'étude, et sans perte de généralité, on considère dans le questionnement suivant que

C_c(p) = 1

, soit :

FTBO_θ(p) = (C_θ(p))/(I_n p^2 + pqG(p))

QB-14 Stabilité théorique et critère de Nyquist : rappeler la condition que doit satisfaire le lieu de transfert en boucle ouverte

FTBO_θ(jω)

lorsqu'il est parcouru dans le sens des pulsations croissantes. Dans un premier temps, le correcteur

C_θ(jω)

est un gain pur, soit

C_θ(jω) = C_θ(0) = K_p

La fonction de transfert en boucle ouverte

FTBO_θ(jω)

est représentée sur le document DR4.

QB-15 Décrire la méthode qui permet d'estimer graphiquement la marge de phase et de gain du système et l'appliquer sur le lieu de transfert

FTBO_θ(jω)

représenté sur le document DR4.

Préciser sur le graphique ces deux marges et compléter le cadre par leurs estimations.
Sans le justifier, ces marges sont-elles très insuffisantes, insuffisantes, satisfaisantes, très satisfaisantes ?

QB-16 Contrairement au cas précédemment étudié, montrer que la mise en place d'un correcteur ne permet pas d'augmenter la bande passante. Quelle est sa limite ?

C - Instrumentation photométrique et bolomètres

Objectif général
Déterminer la polarisation du capteur et proposer un modèle dynamique linéaire afin de déterminer la bande passante ainsi que les conditions de stabilité du bolomètre.

Le photomètre désigne la chaine optique d'instrumentation qui concentre le flux incident sur le capteur constitué de 4 matrices de détecteurs pour lesquelles les éléments unitaires sont des bolomètres.

Figure 7 modèle de bolomètre

P_(abs)(t)

P_j(i, T)

P_f(T)

C_(th)

T_0

G(T)

Puissance rayonnée reçue par l'absorbeur

[W]

Pertes joules dues à la polarisation du thermomètre

[W]

Puissance qui transit de la source chaude vers la source froide [

W

]

Capacité thermique de l'absorbant + thermomètre

[J \cdot K^(- 1)]

Température

[K]

Température de la source froide

[K]

Conductance thermique entre le thermomètre et la source froide

[W \cdot K^(- 1)]

Le courant dans la résistance du thermomètre

[A]

Le bolomètre est un détecteur dont le principe général est de convertir l'énergie d'un rayonnement en chaleur. Il est constitué de trois parties représentées sur la figure 7, un corps absorbant de capacité thermique

C_(th)(T)

et d'un thermomètre de résistance

R(i, T)

, couplés à un réservoir de chaleur de température fixe

T_0

(la source froide) par un élément de conductance thermique

G(T)

L'énergie

dW_(abs)

du flux incident est convertie en chaleur au sein du volume de l'absorbant, provoquant une augmentation

dT

de sa température mesurée au moyen du thermomètre résistif.

Le bolomètre peut être décrit par deux équations différentielles qui dépendent chacune de deux variables dynamiques, le courant

i

dans le thermomètre et la température

T

de l'absorbant.

On rappelle que la capacité thermique

C_(th)

d'un corps de masse

m

et de capacité thermique massique

c

a pour expression :

(dW)/(dT) = C_(th)(T) = mc(T)

On fera l'hypothèse que la capacité thermique

C_(th)(T)

ne dépend que de la température. Concernant le schéma de la figure 7, le sens des flèches symbolise le sens des flux.

Objectif
Étudier l'équilibre thermoélectrique du bolomètre et sa modélisation.

QC-1 En considérant le premier principe de la thermodynamique, établir l'équation différentielle associée au bilan énergétique de l'absorbant.
On admettra que le bolomètre et son circuit de polarisation ont pour modèle le circuit électrique suivant :

Figure 8 modèle électrique du bolomètre

QC-2 À partir du schéma de la figure 8 a), calculer l'expression des éléments

r_(th)

v_(th)

du modèle équivalent représenté en b).

QC-3 Déduire l'équation différentielle du courant

i

Objectif
Étudier le régime statique et calculer le point de fonctionnement.

La technologie du capteur de température est un des éléments importants qui permet d'atteindre les performances spécifiées. Le point de fonctionnement

(i_n, T_n)

du thermomètre de résistance

R(i, T)

est choisi afin d'obtenir une résistance dynamique élevé. Autour de ce point de fonctionnement, les variations

ı~

T~

sont les grandeurs d'intérêts mesurées, en conséquence nous posons :

i = i_n + ı~ et T = T_n + T~

Le couple

(i_n, T_n)

est déterminé en régime statique pour une puissance nulle reçue par l'absorbeur soit

P_(abs) = 0

. Une hypothèse communément admise est que la puissance

P_f(T)

qui transit de la source chaude vers la source froide suit une loi en puissance du type :

P_f(T) = K(T^N - T_0^N)

Les constantes

N

K

sont fonctions de la géométrie du détecteur et du couplage entre les deux sources c'est-à-dire du type de conduction thermique.

QC-4 Déterminer l'expression au point de fonctionnement du courant

i_n

pour la température

T_n

QC-5 Pour le point de fonctionnement

(i_n, T_n)

, en déduire le régime permanent de l'équation différentielle proposée à la question QC-3.

La solution des deux équations différentielles non linéaires obtenues en QC-1 et QC-3 déterminent l'équilibre thermoélectrique du bolomètre.

Objectif
Linéariser le modèle défini par le système d'équations établi aux questions QC-1 et QC-3.

Le développement de Taylor à l'ordre un d'une fonction de deux variables

f(x, y)

dérivable au voisinage du point d'affixe

M_0(x_0, y_0)

est rappelé, si on pose

x = x_0 + x~, y = y_0 + y~

f(x, y) = f(x_0, y_0) + (\partialf(x, y))/(\partialx)|_(x = x_0; y = y_0)x~ + (\partialf(x, y))/(\partialy)|_(x = x_0; y = y_0)y~ + O(x~, y~)

La notation

x~

y~

désignent de « petites » variations autour du point (

x_0, y_0

) et

O(x~, y~)

le reste du développement est négligé. Autour du point de fonctionnement

(i_n, T_n)

qui correspond au régime statique, la résistance du thermomètre

R(i, T)

a pour linéarisation l'expression suivante :

R(i, T) = R(i_n, T_n) + β(R(i_n, T_n))/(i_n)ı~ + α(R(i_n, T_n))/(T_n)T~

Les coefficients

α

β

sont deux grandeurs sans dimension qui caractérisent la dépendance du bolomètre en fonction du courant de polarisation

i_n

du thermomètre et de sa température

T_n

QC-6 Linéariser le capteur de température de résistance

R(i, T)

pour de petites variations autour de son point de fonctionnement

(i_n, T_n)

et donner l'expression des coefficients

α

β

en fonction des dérivées partielles de la résistance

R(i, T)

Les paramètres

α

β

permettent d'évaluer le potentiel d'un matériau pour une utilisation dans en bolomètre résistif. Pour les semiconducteurs, le coefficient

β

est négatif alors qu'il est positif pour les supraconducteurs.

Le choix se porte généralement sur deux types de matériaux :

-Le silicium amorphe $(a - Si)$ et les oxydes de vanadium $(VO_x)$ ,
-Les supraconducteurs niobium-titane retenus dans le cadre de cette étude.

La figure 9 est une série de mesures qui représente l'évolution de la résistance de l'absorbant couplée à son thermomètre en fonction de la température. Une fonction de lissage de ces mesures est représentée en trait continu.

Figure 9 Caractérisation de l'élément supraconducteur (la moyenne est représentée en trait continu)

QC-7 Proposer et justifier le choix de la température

T_n

du point de fonctionnement, déterminer la résistance statique

R(i_n, T_n)

et en déduire la valeur numérique du paramètre

α

en précisant bien son unité.

QC-8 À partir des précédents résultats, en déduire le modèle linéaire de l'équation différentielle calculée à la question QC-3 que vous exprimez en fonction des deux constantes

α

β

L'objectif est maintenant de démontrer que pour

P_(abs) = 0

, l'équation différentielle déterminée à la question QC-1 a pour modèle linéaire :

(dT~)/(dt) = (i_n(R(i_n, T_n))/(C_(th)(T))β + 2i_n(R(i_n, T_n))/(C_(th)(T_n)))ı~ + (i_n^2\partial/(\partialT)((R(i, T))/(C_(th)(T)))|_(i = i_n; T = T_n) - \partial/(\partialT)((K(T^N - T_0^N))/(C_(th)(T)))|_(i = i_n; T = T_n))T~

Il convient d'abord de faire la synthèse des différentes composantes du modèle démontré à la question QC-1.

QC-9 En déduire l'expression de la dérivée

(dT)/(dt)

et rappeler les relations associées aux composantes

P_f(T)

P_j(i, T)

.
La linéarisation consiste à exprimer

(dT)/(dt)

pour de petites variations

(l~, T~)

autour de

(i_n, T_n)

qui est le point de fonctionnement pour lequel

P_(abs) = 0

QC-10 En déduire

(dT)/(dt)

en fonction de l'expression des puissances

P_f(T)

P_j(i, T)

rappelées à la question QC-9 et étendre ce résultat à de petites variations autour du point de fonctionnement.

QC-11 Linéariser à l'ordre un le résultat proposé à la question QC-10 et retrouver l'expression

(dT~)/(dt)

donner précédemment.

II est rappelé que la capacité thermique

C_(th)(T)

est indépendante du courant

i

QC-12 Montrer que les deux équations différentielles linéarisées du modèle dynamique peuvent se mettre sous la forme canonique suivante :

d/(dt)[ı~; T~] = M[ı~; T~] avec M = [- 1/(τ_(el)), - A; B, 1/(τ_(eff))]

Donner l'expression de chacun des coefficients de la matrice

M

ainsi que leurs dimensions.

Dans la suite du questionnement, on se propose d'étudier le comportement dynamique du bolomètre. Des approximations de bon sens conduiront à une erreur relative de quelques pourcents sur le résultat attendu mais permettront de simplifier la suite de l'étude et d'en dégager les principales propriétés. En conséquence, on retiendra les simplifications suivantes :

1/(τ_(el)) \approx 1/LR(i_n, T_n)(1 + β), A = (i_n)/L(R(i_n, T_n))/(T_n)α; B = i_n(R(i_n, T_n))/(C_(th)(T_n))(2 + β), 1/(τ_(eff)) \approx (i_n^2 R(i_n, T_n))/(C_(th)(T_n)T_n)α

Le produit

AB

désigne le couplage électrothermique, on posera

AB = 1/(τ_(elth)^2)

QC-13 Calculer les pôles associés à chacun des deux modes de la solution en fonction des constantes de temps électrique

τ_(el)

, thermique

τ_(eff)

et de couplage

τ_(elth)

.
On s'intéresse maintenant à l'équilibre thermoélectrique du bolomètre dans le cadre d'un couplage électrothermique fort, dans ce cas, l'inégalité suivante est obtenue :

1/(τ_(el)) + 1/(τ_(eff))≪2/(τ_(elth))

QC-14 Quelle condition générale garantie la stabilité de la réponse du bolomètre ? En déduire l'inégalité que doivent satisfaire les bandes passantes électrique et thermique afin d'assurer cette stabilité.

La solution de l'équation différentielle définie par [Eq. 1] est donnée par

[ι~; T~](t)

ainsi définie :

[l~; T~](t) = e^(M(t − t_0))[l~; T~](t_0)U(t − t_0) U(t − t_0) = {1 si t ≥ t_0; 0 sinon

Elle est le régime libre de l'équation différentielle pour les conditions initiales définies à l'instant

t = t_0

. Considérons maintenant une puissance non nulle

P_(abs)(t)

reçue par l'absorbeur, la solution générale prend la forme suivante :

d/(dt)[l~; T~] = M[l~; T~] + b_-P_(abs)(t) avec b_- = [0; a] et a = 1/(c_(th)(T_n))

Pour une sollicitation

P_(abs)(t)

quelconque, c'est une résolution numérique de l'équation différentielle [Eq. 3] à l'aide d'un schéma d'Euler explicite qui est retenu.

Elle repose sur la discrétisation du support temporel et conduit à déterminer aux instants

t_k, k =

0, \dots, N - 1

une estimation de la solution notée

u_k = [ı^; T^](t_k)

.
Le pas de discrétisation, pas

= Δt

, est uniforme soit

Δt = t_(k - 1) - t_k

QC-15 En appliquant un schéma d'Euler explicite à l'équation [Eq. 3], déterminer la relation de récurrence reliant

u_k

u_(k - 1)

P_(abs)(k - 1)

que vous exprimerez en fonction de

M, b_-

et du pas de discrétisation pas.

Ce schéma numérique est une estimation de la solution de [Eq. 3] aux instants

t_k, k = 0, \dots, N - 1

. Pour autant, les conditions de stabilité de cette équation différentielle ne sont pas identiques à celles associées à son schéma numérique.

QC-16 Sans développer les calculs, énoncer les conditions de stabilité du schéma numérique proposé à la question QC-15.

Le script python incomplet du codage de la solution numérique de [Eq. 3] est proposé sur le document réponse DR5.

Le programme est scindé en trois étapes, initialisation des variables, résolution et restitution des résultats.

QC-17 Compléter les cadres en pointillés du script python du document réponse DR5 en respectant scrupuleusement la syntaxe python.

D -Mesure du fond diffus cosmologique

En 1964 et 1965, deux scientifiques conduisent des travaux de recherche sur la communication par satellite et sont confrontés à un rayonnement inattendu isotrope et non polarisé. Au bout d'un an de recherche sur l'origine de cet effet, ils en conclurent que ce signal est le rayonnement fossile prédit par le physicien Georges Gamow quelques années plus tôt. L'existence de ce fond diffus cosmologique micro-onde, le CMB (cosmic microwave background), est une confirmation du modèle du Big Bang proposé par Ralph Alpher et Robert Herman faisant suite aux travaux de l'Abbé Lemaître en 1927. En première approximation, ce fond diffus qui a été découvert par accident en 1965 par Penzias et Wilson, est une image de l'Univers tel qu'il était il y a environ 380000 ans après le Big Bang.

Objectif
Aborder le traitement brut de la mesure du fond diffus cosmologique ainsi que l'estimation des paramètres de Stokes.

La difficulté expérimentale de la mesure du CMB a longtemps été un frein à son étude. Une part importante de l'information qu'il contient est dans la mesure de sa polarisation. Rappelons qu'une onde électromagnétique est dite polarisée dès lors que l'évolution de son champ électrique n'est pas aléatoire. L'état de polarisation le plus général est l'état de polarisation elliptique, pour lequel les projections du champ électrique sur deux axes

(O, x)

(O, y)

orthogonaux à la direction de propagation

z

suivent les équations suivantes :

E_x(t) = A_x cos(ωt); E_y(t) = A_y cos(ωt + φ)

Figure 10 Les deux bases de projection du vecteur champ électrique

E⃗(t)

Connaître l'état de polarisation d'un rayonnement revient donc à déterminer les différents paramètres des équations [Eq. 4] soit la pulsation

ω

, l'amplitude

A = \sqrt(A_x^2 + A_y^2)

ainsi que la phase à l'origine

φ

. Le cadre expérimental devrait permettre d'observer sans difficulté les deux projections du champ électrique

E_x(t)

E_y(t)

, toutefois la bande passante des instruments est incompatible aux fréquences
d'usage de l'ordre de la centaine de giga Hertz. En revanche, nous pouvons mesurer les intensités, c'est-à-dire les valeurs efficaces,

⟨|E_x(t)|^2⟩

⟨|E_y(t)|^2⟩

les moyennes étant prises sur le temps d'intégration du détecteur qui est grand devant la période

(2π)/ω

de l'onde incidente. C'est donc de façon indirecte, à partir de mesures d'intensités suivant diverses orientations que sont estimées les propriétés géométriques de l'ellipse : la valeur de ses deux demi-axes et son orientation.
La première caractéristique de l'onde est son intensité, qui est la somme des intensités mesurées suivant les deux directions

(0, x)

(0, y)

I = ⟨|E_x(t)|^2⟩ + ⟨|E_y(t)|^2⟩ = I_x + I_y avec I_x = ⟨|E_x(t)|^2⟩ et I_y = ⟨|E_y(t)|^2⟩

Afin d'évaluer les demi-axes de l'ellipse, cette mesure est complétée par une estimation de la différence notée

Q

, soit :

Q = I_x - I_y

Q

est positif, alors le grand axe de l'ellipse est plutôt porté par

x

alors que si

Q

est négatif, il est suivant

y

. Il reste encore une indétermination qui est levée par la construction d'une nouvelle observable définie par le paramètre

U

obtenu dans la base

(0, x^', y^')

orientée de

+ π/4

par rapport à

(0, x, y)

U = I_x^(π/4) - I_y^(π/4)

Ces paramètres

I, Q, U

sont les paramètres de Stokes. Ils définissent sans ambiguïté l'ellipse dans le plan

(0, x, y)

c'est-à-dire les amplitudes

A_x, A_y

ainsi que l'argument

φ

QD-1 Calculer les paramètres

I

Q

et en déduire qu'ils permettent d'estimer

A_x^2

A_y^2

(à exprimer en fonction de

I

Q

QD-2 Calculer le paramètre

U

en projetant les composantes du champ

E⃗

dans la base (

0, x^', y^'

) telle que représentées sur la figure 10, et d'en déduire que la connaissance des paramètres de Stokes permet de définir complétement l'ellipse et donc la polarisation de l'onde.

Le modèle de la mesure faite par un détecteur s'exprime en fonction des paramètres de stokes, c'est-à-dire du triplet

I, Q, U

, elle a pour expression à un gain réel près :

m(α_i) = I_i + Q_i cos(2α_i) + U_i sin(2α_i)

Le paramètre

α_i

est connu, il désigne la position angulaire du détecteur par rapport à la droite

(0, x)

.
QD-3 Combien faut-il faire de mesures

m(α_i)

avec

α_i

constant pour estimer les paramètres de Stokes et lever l'indétermination ?

Afin d'introduire de la redondance, un même point est observé

n

fois et ne représente que le traitement d'un pixel d'une matrice constituée de

N

bolomètres. L'expression analytique de la solution n'est pas intuitive, aussi nous choisirons un cas particulier pour l'approcher.

Soit

i = 1, \dots, n

, l'indexation des

n

mesures d'une même surface stellaire observée pour un pixel parmi

N, S^t

le vecteur des paramètres de Stokes associés à la mesure

j

M^t

le vecteur constitué par ces

n

mesures :

S^t = (I_j Q_j U_j), M^t = (m_j(α_1)\dotsm_j(α_n)) et j = 1, \dots, N

Dans ces expressions,

t

est l'opérateur de transposition.
Le modèle défini par [Eq. 5] étendu aux

n

mesures est le système matriciel suivant :

M = AS + N

Le vecteur

N

est un bruit stationnaire additif à la mesure de variance

σ^2

que l'on supposera décorrélé. Ces hypothèses mènent aux propriétés statistiques simplificatrices qui sont les suivantes :

𝔼[N] = 0 et 𝔼[NN^t] = σ^2 𝕀_n,

𝕀_n

est la matrice identité de dimension

n

QD-4 Donner l'expression de l'opérateur

A

ainsi que son nombre de lignes et de colonnes.
L'opérateur

A

désigne une partition de la matrice de pointage qui contient les coordonnées de chacun des pixels ainsi que les angles des polariseurs.

L'équation [Eq. 6] est résolu au sens des moindres carrés. La solution est le vecteur de coefficients

S = S_(opt)

qui minimise la norme euclidienne des résidus

ε = M - AS

, soit :

C(S) = ε^t ε = (M - AS)^t(M - AS)

QD-5 Calculer la solution optimale

S_(opt) = (\partialC(S))/(\partialS) = 0

de [Eq. 7] qui minimise l'erreur d'estimation des paramètres de Stokes.

L'expression de

S_(opt)

fait apparaître une réalisation de la matrice de variance covariance

v = A^t A

. Elle tient une place importante dans l'estimation des paramètres de Stokes pour lesquels l'erreur est minimale lorsque cette matrice est diagonale soit lorsque les paramètres de Stokes sont décorrélés.
QD-6 Calculer l'expression analytique de la matrice de variance covariance

v

En pratique, le problème posé est dans la recherche d'une configuration des détecteurs qui minimise l'erreur d'estimation des paramètres de Stokes.

QD-7 En vous aidant du résultat précédent, expliquer sans le démontrer que si les angles

α_i, i = 1, .., n

sont uniformément distribués sur le support

[0, pi]

alors la matrice de variance/covariance est alors diagonale ; en déduire son expression

v_(opt)

On utilisera les données suivantes :

\sum_(i = 1)^n cos^2 2α_i = n/2 + 1/2cos((n + 1)α)(sin(nα))/(sinα)

pour

α_i = iα

avec

α = (2π)/(n + 1)

QD-8 Pour une distribution uniforme des angles

α_i

, calculer la solution optimale au sens des moindres carrés

S_(opt)

démontrée à la question QD-5.

Le résultat sera exprimé en fonction du paramètre

n

, des mesures

m_i

et des angles

α_i, i = 1, .., n

Cette configuration de la chaîne de mesures a pour conséquence la décorrélation des erreurs d'estimation des paramètres de Stokes et une erreur contenue dans un volume minimal majoré par

(8π)/3((4σ)/(\sqrtN))^3

L'estimation des paramètres de Stokes étendue à l'ensemble des pixels de la matrice constituée de

N

bolomètres permet d'établir une cartographie des paramètres

I, Q

U

. La figure 11 est l'une d'elle obtenue à partir des données d'un vol.

Figure 11 PILOT maps of the

I, Q, U

parameters obtained towards the galactic center region

Objectif :
Post-traitement des mesures : déconvolution naïve et solution robuste au problème inverse.

Notation :

-Rappelons que $ε(t)\to-^F E(ω)$ et $φ(t)\to-^F Φ(ω), \dots$
-Le symbole * désigne le complexe conjugué.
- $s_φ(ω) = 𝔼[Φ(ω)Φ(ω)^*]$ et $s_b(ω) = 𝔼[B(ω)B(ω)^*]$ désignent respectivement la densité spectrale de puissance de $φ(t)$ et du bruit $b(t)$ .

Désignons par

h(t)

la réponse impulsionnelle du bolomètre modélisé par une équation différentielle du premier ordre et par

φ(t)

« l'entrée », c'est-à-dire le flux incident. L'entrée est la grandeur non directement observable qui est déterminée à partir d'un ensemble fini de mesures de la grandeur observée, la « sortie »

m(t)

. L'entrée et la sortie sont liées par la relation exprimée par [Eq. 8] déduite du modèle proposé par la figure 12 :

m(t) = \intφ(λ)h(t - λ)dλ + b(t)

b(t)

modélise le bruit additif à la mesure, il a pour propriétés statistiques les deux premiers moments suivants :

𝔼[b(t)] = 0, 𝔼[b(t)^2] = σ_b^2, 𝔼

désigne l'opérateur « espérance mathématique ».

Figure 12 Modèle de la déconvolution

Problématique : La grandeur observée est

m(t)

, or c'est l'entrée

φ(t)

que l'on cherche à estimer. Ce problème est dit inverse, il consiste, à partir de la mesure

m(t)

et de la connaissance de

h(t)

, à estimer l'entrée

φ(t)

. La difficulté est d'ordre conceptuelle mais aussi numérique. Les mêmes effets peuvent provenir de causes différentes. En conséquence, la principale difficulté des problèmes inverses est qu'ils peuvent avoir plusieurs solutions.

QD-9 Calculer la transformée de Fourier de l'équation [Eq. 8].

Une première approche consiste à « inverser » le résultat de la question précédente par le filtre inverse. Afin de simplifier la démarche, considérons une mesure non bruitée, soit

b(t) = 0

QD-10 Sans préjuger des conditions d'inversion, exprimer la solution recherchée

Φ(ω)

Dans ce cas précis nous avons d'une part,

H(ω)

une fonction qui ne s'annule pour aucune valeur de

ω

et, d'autre part,

lim_(ω \to \infty)H(ω) \to 0

QD-11 Quel problème pose la solution trouvée à la question QD-10 et qu'elle serait éventuellement son domaine de validité ?

Concernant l'unicité des solutions, elle n'est jamais démontrable dans les cas pratiques. Ce problème, tel qu'il est traité, est mal posé.

Le filtre de Wiener est une seconde approche plus robuste que la première. Noté

g(t)

sur la figure 12, elle repose sur des hypothèses statistiques contrairement à la précédente solution. L'entrée

φ(t)

et le bruit

b(t)

sont des variables aléatoires statistiquement indépendantes. Il en résulte que la sortie

m(t)

et l'estimation

φ^(t)

le sont également. L'objectif est de proposer, au sens de l'erreur quadratique moyenne (EQM), c'est-à-dire du minimum de variance, l'estimation

Φˆ(ω)

la plus proche de

Φ(ω)

Les calculs sont effectués dans le domaine de Fourier afin d'utiliser des produits simples plutôt que des produits de convolutions.

Soit

ε(t) = φ^(t) - φ(t)

, le critère de coût à minimiser est la variance de l'erreur

σ_ε^2

définie par l'expression :

σ_ε^2 = 𝔼[ε(t)^2] = 𝔼[(Φˆ(ω) - Φ(ω))(Φˆ(ω) - Φ(ω))^*]

QD-12 En utilisant la figure 12, exprimer

Φˆ(ω) = F{φ(t)}

en fonction des entrées

Φ(ω)

B(ω)

. En déduire la nouvelle expression de la variance

σ_ε^2

à présenter sous la forme suivante :

σ_ε^2 = 𝔼[ε(t)^2] = 𝔼[(P(ω)Φ(ω) + Q(ω)B(ω))(P(ω)Φ(ω) + Q(ω)B(ω))^*]

En déduire les expressions de

P(ω)

Q(ω)

QD-13 Développer l'équation [Eq. 9] et exprimer le résultat en fonction de

G(ω), H(ω)

et des densités spectrales de puissances

s_φ(ω)

s_b(ω)

Il faut chercher le filtre

G(ω)

qui minimise l'EQM, ou de manière équivalente, qui annule la dérivée de I'EQM.

QD-14 Calculer le filtre optimal

G(ω)_(opt)

au sens du minimum de variance tel que

(\partialσ_ε^2)/(\partialG(ω)) = 0

QB-15 Déduire du résultat précédent l'expression de l'estimation optimale au sens du minimum de variance

Φˆ(ω)

Φ(ω)

en fonction de

M(ω)

et mettre clairement en évidence la valeur ajoutée du filtre de Wiener.

Tous les documents réponses sont à rendre, même non complétés.

DR 1 (QB-4 et 5)

Module et argument de

G(jω)

Tous les documents réponses sont à rendre, même non complétés.

DR 4 (QB-15)

Lieu de trasnfert

FTBO(jω)

dans le plan de Nyquist paramétré en

ω

Marge de phase en degrés :
Marge de gain en dB :

QC17 : Script python à compléter

16N=10000 # nombre d'échantillons : le pas est donc pas=(tf-t0)/(N-1)
17t0=0;tf=0.001; # t0 est le début, tf la fin de la simulation
18pas=(tf-t0)/(N-1) # pas de discrétisation
19
20# matrice M, constantes du modèle
21A,B=150,4.1E6
22Tel,Teff=24E-6,87E-6
23Cth=2.2E-12; # Capacité thermique en pJ/K
24a=1/Cth;
25
26M=matrix([[-1/Tel,-A],[B,1/Teff]])
27b=matrix([[0],[a]])
28|--------------------------------
29,t= # les instants pour lesquels on recherche la solution
30
31# Modélisation du flux incident : échelon d'amplitude P0
32P0=1E-6
33Pabs=P0*matrix(ones([1,N]))
34
35# résolution par un schéma d'Euler explicite
36X = matrix(zeros([2,N]));
37
38for i in range (1,N) :
39
401
41,
42# affichage des resultats
43subplot(211)
44---------------------------------
45plot
46l
47ylabel("courant (nA)")
48subplot(212)
49--------------------------------
5@plot
51
52xlabel("temps (s)");ylabel("température (°mK)")
53title("Evolution du courant et de la température dans le bolomètre")

$^1$ Polarized Instrument for Long wavelength Observation of the Tenuous insterstellar medium.
$^2$ Un ballon stratosphérique ouvert (BSO) est un ballon qui permet à l'hélium d'être évacuée au fur et à mesure de son ascension afin de maintenir constant son volume. On a donc un équilibre mécanique et une même pression à l'intérieur comme à l'extérieur du ballon. Ce type de ballon représente la majorité des ballons lancés dans un cadre scientifique.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation de l'agrégation SII ingénierie électrique 2022 ?

L'épreuve porte sur la statique des fluides, l'automatique (asservissement, critère de Nyquist), la modélisation électrothermique et le traitement du signal, à travers l'étude d'un télescope embarqué sous ballon stratosphérique.

L'épreuve de modélisation de l'agrégation SII ingénierie électrique 2022 est-elle difficile ?

Le rapport indique que les parties C (bolomètres) et D (traitement du signal) ont été mal traitées, avec des taux de réussite très faibles sur les questions les plus conceptuelles.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de modélisation agrégation SII 2022 ?

Le jury signale des difficultés sur des opérations mathématiques élémentaires en automatique, une linéarisation de résistance mal traitée et un calcul des valeurs propres pour la stabilité peu maîtrisé.

Faut-il de bonnes connaissances en automatique pour cette épreuve de modélisation agrégation SII 2022 ?

La partie B ne nécessitait pas de connaissances pointues en automatique car le modèle linéaire était donné, mais elle a tout de même mis en évidence des difficultés sur des manipulations mathématiques de base.

Pas de description pour le moment

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MODÉLISATION D'UN SYSTÈME, D'UN PROCÉDÉ OU D'UNE ORGANISATION

INFORMATION AUX CANDIDATS

Introduction et contexte

L'expérience scientifique PILOT

Technologie mise en œuvre et instrumentation

A - Étude de l'équilibre hydrostatique de l'expérience

B - Asservissement et performance du pointage en azimut du télescope

B - 2 Architecture de contrôle en azimut

C - Instrumentation photométrique et bolomètres

D -Mesure du fond diffus cosmologique

Tous les documents réponses sont à rendre, même non complétés.

DR 1 (QB-4 et 5)

Tous les documents réponses sont à rendre, même non complétés.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation de l'agrégation SII ingénierie électrique 2022 ?

L'épreuve de modélisation de l'agrégation SII ingénierie électrique 2022 est-elle difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de modélisation agrégation SII 2022 ?

Faut-il de bonnes connaissances en automatique pour cette épreuve de modélisation agrégation SII 2022 ?

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