Agrégation informatique externe 2025, épreuve 2, option ingénierie informatiqueSujet et rapport du jury

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Étude dysfonctionnelle d'un système de trains d'atterrissage

Figure 1 - Airbus A380 avec ses 5 trains d'atterrissage comportant 22 roues (un à 2 roues, deux à 4 roues, deux à 6 roues), et Airbus A400M avec ses 3 trains d'atterrissage comportant 14 roues (un à 2 roues, deux à 6 roues) : deux solutions techniques pour deux ensembles d'exigences différents
Photos copyright Adrien Daste / Safran

I Contexte et système étudié

I. 1 Contexte de l'industrie aéronautique et conception de nouveaux avions

I.1.a Choix structurels pour un nouveau modèle d'avion : le cas des trains d'atterrissage

Figure 2 - Gamme de trains d'atterrissage Safran Landing System Photos copyright Safran

• -des équipements hydrauliques (pompes, servovalves), permettant d'alimenter et de distribuer la haute pression aux trains d'atterrissage, pour actionner leurs sorties du fuselage avant l'atterrissage ainsi que leurs rentrées après le décollage (figure 3) ;
• -des capteurs et des détecteurs divers (position, pression, etc.), un circuit hydraulique, etc.;

• -un ou plusieurs calculateurs de commande, envoyant les consignes aux préactionneurs en fonction de l'état du système (obtenu via les capteurs) et des commandes reçues du cockpit.

I.1.b Étude de sûreté de fonctionnement et point de vue dysfonctionnel

Figure 3 - Équipement hydraulique et servovalve hydraulique Photos copyright Safran Aerosystems

I. 2 Système étudié

I.2.a Architecture

• -une partie mécanique, composée de trois ensembles de trains d'atterrissage identiques (avant, gauche et droite);
• -un circuit hydraulique ;
• -une commande numérique.

I.2.b Trains d'atterrissage et séquences de fonctionnement

Figure 4 - Train d'atterrissage avant Safran d'un Airbus A319, avec sa porte ouverte Photo copyright Lionel Flusin / CAPA Pictures / Safran

Figure 5 - Verrouillage de train et actionneur de trappe du train d'atterrissage Photos copyright Safran

Figure 6 - Vérins hydrauliques

• 1.déverrouiller la porte;
• 2.ouvrir la porte ;
• 3.une fois la porte ouverte, tout en la gardant ouverte, sortir les roues jusqu'à la position maximale;
• 4.une fois les roues sorties, fermer la porte ;
• 5.verrouiller la porte.

• 1.déverrouiller la porte;
• 2.ouvrir la porte ;
• 3.une fois la porte ouverte, tout en la gardant ouverte, rentrer les roues jusqu'à la position maximale;
• 4.une fois les roues rentrées, fermer la porte;
• 5.verrouiller la porte.

Figure 7 - Séquence de sortie et d'entrée des roues temporisée

I.2.c Circuit hydraulique

I.2.d Calculateur de commande

• -contrôler la séquence d'entrée ou de sortie des trains d'atterrissage lorsque l'ordre est donné ;
• -détecter des éventuelles incohérences de l'état du système, pour en inférer son état de bon fonctionnement ou une éventuelle panne, à partir des informations acquises auprès de tous les capteurs et détecteurs présents dans le système;
• -informer le pilote de l'état du système, de son bon fonctionnement, mais aussi (et surtout) de la position des roues du train d'atterrissage, pour permettre à l'avion d'atterrir en sécurité.

• -le mode normal, lorsque tout fonctionne correctement ;
• -le mode dégradé, quand une panne a été détectée.

I.2.e Interface Homme-Machine

• -une manette à deux positions (haut/bas), que le pilote actionne pour indiquer que les roues doivent être rentrées ou sorties ;
• -trois voyants, indiquant que :
  • -les roues sont en mouvement;
  • -les roues sont sorties ;
  • -le système est en état de bon fonctionnement.

I.2.f Exigences

I. 3 Étude proposée

II Modélisation dysfonctionnelle

II. 1 Détecteurs

Figure 8 - Chaîne de Markov d'un système composé d'un détecteur

• -Processus stochastique : représente l'évolution d'une variable aléatoire, c'est-à-dire chaque résultat possible suivant des lois de probabilités.
• -Propriété de Markov : l'information utile pour prédire l'état futur est entièrement contenue dans l'état présent (le système n'a pas de mémoire, et ne dépend pas de paramètres extérieurs).

• -de la probabilité que le système soit dans cet état à un instant précédent, et n'en sorte pas;
• -de la probabilité que le système soit dans un autre état, et qu'il arrive dans cet état.

Figure 9 - Chaîne de Markov d'un système composé de deux détecteurs

Figure 10 - Evolution de x_4(t_n)

II. 2 Circuit d'alimentation de fluide

• -Sa position : ouverte (laissant passer le fluide, noté O ), ou fermée (noté F );
• -Son état de fonctionnement : bon fonctionnement (noté OK ), ou en panne (noté KO).

II.2.a Modèle à une électrovanne

On s'intéresse au système composé d'une unique électrovanne.

II.2.b Modèle à deux électrovannes en série en redondance chaude

• -la redondance dîte «chaude», pour laquelle deux composants (ou plus) réalisent les mêmes actions en parallèle. Si l'un des composants dysfonctionne, les autres continuent. Ainsi, sous certaines conditions, le système continue à assurer sa fonction.
• -la redondance dîte «froide», pour laquelle l'un des composants (dit activé) réalise la fonction, tandis qu'un autre composant (ou plusieurs autres composants) sont éteints (et ne se dégradent donc pas, ou plus faiblement et lentement que s'ils étaient en fonctionnement). Lorsque le composant activé dysfonctionne, le composant en redondance (ou l'un d'entre eux) est activé, et prend le relai du composant dysfonctionnel pour réaliser la fonction du système.

Alimentation

II.2.c Modèle à deux électrovannes en série en redondance froide

II. 3 Modélisation d'un avion

III Transmission des informations

• -saturation du bus;
• -erreur de transmission des trames ;
• -collision de trames.

III. 1 Erreur de transmission des trames

III. 2 Saturation du bus

III. 3 Collision de trames

• 1.un nœud écoute le canal pour vérifier s'il est libre (Carrier Sense) ;
• 2.si le canal est libre, le nœud commence à transmettre des données ;
• 3.si le canal est occupé, le nœud attend et réessaye après un certain délai;
• 4.pendant la transmission, le nœud continue de surveiller le canal, en comparant ce qu'il a envoyé, et ce qui est effectivement présent sur le canal. Un bit à l'état logique « 0 » étant dominant, et un bit à l'état logique « 1 » étant récessif, lorsque deux nœuds transmettent simultanément :
  • -s'ils envoient les mêmes bits, alors aucune collision n'est détectée ;
  • -s'ils envoient deux bits différents, alors celui qui a transmis un bit « 1 » lira sur le canal un bit ≪0 », détectera qu'il y a eu une collision, et s'arrêtera de transmettre (avant de recommencer plus tard). L'autre nœud ne détectera aucune collision, tout comme les autres nœuds non-émetteurs.

III. 4 Conclusion

IV Modélisation par un Automate à Transitions Gardées (GTS)

• -la description dysfonctionnelle composant par composant, assemblés d'une façon proche de l'architecture fonctionnelle du système étudié ;
• -la possibilité de décrire les composants via un langage de modélisation haut-niveau orienté prototype ou orienté objet, ce qui permet de rapidement modéliser de nouveaux composants en dupliquant, héritant, composant, redéfinissant des modèles déjà existants. On peut ainsi construire des bibliothèques de modèles de composants, et étudier différentes configurations possibles d'un système (par exemple en testant la fiabilité d'une solution technique avec deux composants en redondance, ou avec trois) sans repartir d'un modèle vierge ;
• -la possibilité de modéliser des transitions temporisées suivant des délais stochastiques, permettant de représenter des pannes « aléatoires » par des lois probabilistes de n'importe quel type.

IV. 1 Guarded Transition Systems

• -variables d'état typées, dont les valeurs représentent l'état actuel du modèle;
• -transitions temporisées et gardées. Une transition est un ensemble composé de :
  • -une garde : expression booléenne portant sur les variables du GTS;
  • -une action : un ensemble d'affectations, éventuellement conditionnelles, portant sur les variables du GTS ;
  • -un évènement temporisé : une fonction qui ne prend pas d'argument et renvoie un temps positif, pouvant être une constante (éventuellement nulle), ou un nombre positif aléatoire suivant une loi probabiliste propre à chaque temporisation.
• -variables de flux typées et d'assertions permettant de calculer leurs valeurs, dont l'objet est de modéliser les interactions entre les composants d'un système ;

IV.1.a Description d'un composant

• -working, qui vaut initialement True, et qui indique si l'interrupteur est en bon état de fonctionnement ;
• -position, qui vaut initialement False, et qui indique si l'interrupteur est en position ouverte (False) ou fermée (True).

• -la transition eOn modélise la fermeture de l'interrupteur (passage de position de la valeur False à True) :
  • -cette transition n'est tirable que si l'interrupteur est en position ouverte et est en bon état de fonctionnement, ce qui est imposé par la garde working and not position;
  • -lorsque cette transition est tirée, la position passe à la valeur fermée, par l'exécution de l'action (position := True);
  • -le tir de cette transition a lieu après un délai constant de 5 s, mesuré à partir de l'instant auquel la transition devient tirable, c'est-à-dire que sa garde devient vraie. Si la garde devient fausse, la mesure est remise à zéro.
• -la transition eOff, qui modélise l'ouverture de l'interrupteur et qui est, dans sa description, similaire à eOn, mais avec un délai constant de 10 s :
  • -ainsi, tant qu'il est dans un état de bon fonctionnement, l'interrupteur va alterner entre la position fermée durant 5 s et l'état ouvert durant 10 s.
• -la transition eFail, qui modélise la défaillance de l'interrupteur :
  • -cette transition n'est tirable que si l'interrupteur est en état de bon fonctionnement, comme l'indique la garde working (working doit avoir la valeur True);
  • -lorsque cette transition est tirée, working prend la valeur False (comme l'indique l'action working := False);
  • -le tir de cette transition a lieu après un délai aléatoire, lui aussi mesuré à partir de l'instant auquel la transition devient tirable, choisi suivant une loi probabiliste exponentielle de paramètre 1 × 10^(− 7) s^(− 1).

IV.1.b Description d'un système à partir de composants

Figure 12 - Modèle GTS d'un panneau de contrôle constitué de deux interrupteurs

IV.1.c Interactions entre composants

• -de condition position;
• -d'affectation out = in.

• -de condition True (toujours vraie) ;
• -d'affectation I2.in = I1.out;

IV. 2 Simulation d'un GTS

• -affectation des valeurs initiales aux variables;
• -tant que nécessaire :
  • -mise à jour de l'échéancier des transitions tirables : (étudié en partie VI.2)
    • -si une garde devient fausse, retrait de la transition de l'échéancier;
    • -si une garde devient vraie, insertion de la transition de l'échéancier avec une date de tir choisie en fonction du délai associé (éventuellement aléatoire) (étudié en partie V) ;
  • -avancement du temps jusqu'à la date de tir de la prochaine transition ;
  • -tir de la transition : application de son action ;
  • -propagation (calcul) des variables de flux (étudié en partie VI.1).

IV. 3 Modélisation d'un détecteur

• -un mode d'extinction complète, de loi de probabilité exponentielle de taux 10^(− 6), dans lequel la sortie est toujours à l'état bas (False);
• -un mode court-circuit, de loi de probabilité exponentielle de taux 10^(− 7), dans lequel la sortie est toujours à l'état haut (True) ;

IV. 4 Modélisation des fonctions de fusion de données et de surveillance du calculateur

• -si à la date t les trois informations sont considérées valides et sont égales, alors la valeur considérée par le calculateur est la valeur commune ;
• -si à la date t une information est différente des deux autres pour la première fois (i.e. les trois informations étaient considérées comme valides jusqu'à t ), alors cette information est considérée comme invalide et est définitivement éliminée. Seules les deux informations restantes sont considérées comme valides dans le futur. La valeur considérée par le calculateur est la valeur commune aux deux informations restantes;
• -si une information a été éliminée précédemment, et qu'à la date t les deux informations restantes ne sont pas de valeurs égales, alors une anomalie est signalée.

V Dates des évènements

V. 1 Tirage aléatoire des dates

• -soit de façon voulue, programmée : par exemple, lorsqu'un composant est commandé pour assurer une fonction (ouverture d'une vanne pour sortir le train d'atterrissage...), ou en réaction à un changement d'état d'un autre composant. La date à laquelle cette transition est franchie peut alors être calculée de façon déterministe en ajoutant un délai fixe à partir de la date à laquelle une condition devient vérifiée.
• -soit de façon incertaine ou inattendue : par exemple, lorsqu'un composant tombe en panne, ou lorsque le délai d'exécution d'une tâche dépend de paramètres extérieurs ou inconnus. Dans ce cas là, la date à laquelle cette transition est franchie est stochastique, et peut-être modélisée par un délai, dépendant d'une densité de probabilité, ajouté à la date à laquelle une condition devient vérifiée.

Figure 16 - Fiabilité d'un modèle de probabilité exponentielle

Figure 17 - Densité de défaillance d'un modèle de probabilité exponentielle

V. 2 Durée de mouvement des vérins hydrauliques

Figure 18 - Forme de la densité de probabilité d'un délai de mouvement d'un vérin, de durée nominale d, de durée nominale d ± 20%

V. 3 Modèle de défaillance basé sur un historique de pannes

Figure 19 - Tables extraites de la base de données

• -sn, clé primaire de type texte;
• -model, champ de type texte, représentant le modèle (dans le catalogue du constructeur) du composant;
• -production_date, champ de type date, indiquant la date de production du composant ;
• -firstusage_date, champ de type date, indiquant la date de première utilisation du composant (si elle existe).

• -id, clé primaire de type texte, générée aléatoirement;
• -date, champ de type date, contenant la date de l'inspection ou de la maintenance;
• -sn, champ de type texte, contenant le numéro de série du composant ;
• -state, champ de type texte, contenant le type d'opération réalisée parmi « inspection » (le composant a été inspecté, sans maintenance nécessaire) ou « replacement » (le composant a dû être remplacé).

• -CURRENT_DATE() récupérer la date courante;
• -DATE() extraire une date à partir d'une chaîne contenant une valeur au format DATE ;
• -DATE_ADD() ajouter une valeur au format TIME à une date;
• -DATE_SUB() soustraire une valeur au format TIME à une date;
• -DATEDIFF() déterminer le nombre de jours entre 2 dates.

Figure 21 - Histogramme des durées de bon fonctionnement du composant P500

Figure 22 - Taux de défaillance expérimental, et modélisation du taux de défaillance par deux loi de Weibull par régression, du composant P500

• -Une première phase à fort taux de défaillance, qualifiée de « période de jeunesse » : cela correspond à la période de rodage des systèmes mécaniques, et aux défaillances dûes aux défauts de fabrication;
• -Une deuxième phase à faible taux de défaillance, à taux constant ;
• -Enfin, une troisième phase avec un taux de défaillance croissant, correspondant à la « période de vieillissement » ou « d'usure ».

• - α le paramètre de jeunesse (sans dimension);
• - μ le paramètre de vieillesse (de dimension inverse d'un temps);
• - η le paramètre d'échelle (de dimension temporelle).

VI Simulation d'un GTS

VI. 1 Assertions : modélisation acausale des flux entre composants

• 1.toutes les variables de flux sont définies comme indéterminées ;
• 2.tant que nécessaire :
  • -pour chaque assertion, si sa condition est calculable (ne repose pas sur des variables de flux indéterminées) et est vraie :
    • -alors, si son expression est calculable, on la calcule et on l'affecte à la variable de flux.
• 3.pour chaque variable de flux encore indéterminée, on lui affecte sa valeur par défaut définie dans le modèle.

• -working modélise l'état de bon fonctionnement (True) ou non (False) de l'électrovanne;
• -position modélise si la vanne laisse passer le fluide (True) ou non (False).

• -fLeft et fRight, qui indique si le fluide est à haute pression (True) ou basse pression (False) sur le connecteur gauche et droite de la vanne;
• -fConsigne, qui permet à l'électrovanne de recevoir une consigne d'ouverture (True) ou de fermeture (False).

• -eOpen et eClose permettent d'ouvrir et fermer la vanne si elle en reçoit la consigne et qu'elle est en état de bon fonctionnement (et qu'elle n'est pas déjà ouverte ou fermée). Ces opérations ont une durée constante, de valeur 1;
• -l'électrovanne peut défaillir, suivant une loi probabiliste exponentielle, ce qui est modélisé par la transition eFail.

• -la première indique que si la vanne est ouverte, alors la haute pression du connecteur droit va au connecteur gauche ;
• -la seconde est en sens inverse (de gauche à droite).

Figure 24 - Schéma hydraulique d'un ensemble d'électrovannes

• -EV1 : working = True, position = True;
• -EV2a : working = False, position = False;
• -EV2b : working = True, position = True.

VI. 2 Gestions des transitions : échéancier

• -mémoriser les transitions tirables, et à quelles dates elles sont prévues;
• -retirer de l'échéancier les transitions qui ne sont plus tirables ;
• -indiquer la prochaine transition à tirer, et à quelle date.

• -la date de simulation actuelle ;
• -l'ensemble des valeurs des variables d'état ;

• -l'ensemble des valeurs des variables de flux (qui sont déterminées à partir des variables d'état, et ne sont donc pas indispensables pour définir l'état, mais sont tout de même accessibles);
• -l'échéancier, contenant les dates de tir prévues de toutes les transitions tirables.

VI.2.a Échéancier sous forme de liste

• - n_s le nombre de variables d'état du GTS;
• - n_t le nombre de transitions du GTS ;
• - n_f le nombre de variables de flux du GTS ;
• - n_a le nombre d'assertions du GTS.

VI.2.b Échéancier stocké dans un tableau

• -si la transition est tirable, la date de tir prévue ;
• -si la transition n'est pas tirable, None.

VI. 3 Amélioration de la complexité temporelle

• -L'action va modifier des variables d'état;
• -Les variables d'état vont pouvoir modifier des valeurs de variables de flux;
• -Les gardes dépendent de variables d'état et de variables de flux et peuvent donc voir leur valeur modifiée si au moins l'une d'entre elles peut être modifiée.

Figure 26 - Exemple de conséquences d'actions sur des gardes, via les variables d'état et les variables de flux (et des assertions)

Figure 27 - Exemple de conséquences de l'action 2 sur des gardes

• -write est une liste de variables auxquelles une valeur peut être affectée par le code de cette fonction;
• -read est une liste de variables dont la valeur peut être obtenue par le code de cette fonction.

• 1.calcul de la liste des variables d'état affectées par le tir de la transition;
• 2.calcul de la liste des variables de flux affectées, directement ou indirectement, par une modification des variables d'état, via la propagation des assertions;
• 3.calcul de la liste des transitions dont la valeur de la garde peut être modifiée suite au tir de la transition.

def GardesAffectees(GTS, transition):
    # calcul de la liste Lvaretats des variables d'état affectées par le tir de
    la transition
    ...
    # calcul de la liste Lvarflux des variables de flux affectées, directement
    ou indirectement, par une modification des variables d'état, via la
    propagation des assertions
    ...
    # calcul de la liste Lgardes des transitions dont la valeur de la garde peut
        être modifiée suite au tir de la transition
    ...
    return Lgardes

VII Simulation stochastique

• -Sa MTTF (Mean Time To Failure), correspondant à la moyenne des durées de bon fonctionnement du système.
  • -Pour connaitre l'état de bon fonctionnement, une variable de flux booléenne nommée BonFonctionnement a été définie, avec une assertion correspondante : la valeur True indiquant que le système est en état de bon fonctionnement.
• -Le respect de l'exigence (R_(11)).

VII. 1 Mesure de la MTTF

• -une condition d'arrêt de chaque simulation;
• -la grandeur mesurée à chaque simulation.

• -la moyenne des valeurs de la grandeur mesurée x_n^–;
• -l'estimation de la variance des grandeurs mesurées Var(x_n).

VII. 2 Mesure de l'exigence (R_(11))

VII. 3 Résultats des simulations

• -MTTF : 1, 818 × 10^5 h;
• - (R_(11)) : 5, 5 × 10^(− 9) occurences par heure.

VIII Annexes

Bibliographie

• [1] Michel Batteux, Tatiana Prosvirnova, and Antoine Rauzy. Altarica 3.0 assertions : The whys and wherefores. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part O : Journal of Risk and Reliability, 231(6):691-700, September 2017.
• [2] Frédéric Boniol and Virginie Wiels. The landing gear system case study. In Frédéric Boniol, Virginie Wiels, Yamine Ait Ameur, and Klaus-Dieter Schewe, editors, ABZ 2014 : The Landing Gear Case Study, pages 1-18, Cham, 2014. Springer International Publishing.
• [3] Antoine Rauzy. Guarded transition systems : a new states/events formalism for reliability studies. Proceedings of The Institution of Mechanical Engineers Part O-journal of Risk and Reliability, 222, December 2008.
• [4] B. P. Welford. Note on a method for calculating corrected sums of squares and products. Technometrics, 4(3):419-420, 1962.
• [5] Gilles ZWINGELSTEIN. Sûreté de fonctionnement - principaux concepts. Automatique et ingénierie système, March 2019.

Documentation du module Python GTS

class GTS.VariableEtat(nom:str, valeurInitiale:bool)

class GTS.Assertion(condition:Callable[[], bool], affectation:Callable[[], None])

• • -d'une condition, c'est à dire une fonction booléenne portant sur des variables d'état et de flux du modèle GTS;
  • -d'une affectation, c'est à dire une fonction qui affecte des valeurs à une ou plusieurs variables de flux (VariableFlux) calculées à partir de variables d'état et de flux du modèle GTS.

_condition: Callable[[], bool]

_affectation: Callable[[], None]

isConditionVerifiee() → bool

Affecter() → None

getVariablesFluxNecessaires() → list[GTS.VariableFlux]

class GTS.Transition(nom: str, garde: Callable[[], bool], action : Callable[[], None], temporisation : Callable[[],
    float])

• • -d'une garde : fonction booléenne, autorisant le tir de la transition;
  • -d'une action : fonction qui affecte des valeurs à une ou plusieurs variables d'état (VariableEtat) d'un GTS, à exécuter lors du tir de la transition;
  • -d'une temporisation : fonction qui renvoie un float, choisi aléatoirement suivant la loi probabiliste associée à la transition;
  • -et d'un nom : chaîne de caractères utilisée pour identifier la transition.

_nom: str

_garde: Callable[[], bool]

_action: Callable[[], None]

_temporisation: Callable[[], float]

Garde() → bool

Action() → None

Temporisation() → float

getNom() → str

getGarde() → Callable[[], bool]

getAction() → Callable[[], None]

getTemporisation() → Callable[[], float]

class GTS.GTS(variablesetat: list[GTS.VariableEtat], variablesflux : list[GTS.VariableFlux], transitions :
        list[GTS.Transition], assertions : list[GTS.Assertion])

• • -d'un ensemble de variables d'état (VariableEtat);
  • -d'un ensemble de variables de flux (VariableFlux);
  • -d'un ensemble de transitions (Transition);
  • -d'un ensemble d'assertions (Assertion);
  • -et, pour permettre sa simulation, d'une date de simulation et d'un échéancier.
  • _variablesetat: list[GTS.VariableEtat]

_variablesflux: list[GTS.VariableFlux]

_transitions: list[GTS.Transition]

_assertions: list[GTS.Assertion]

_date: float

_echeancier: list[tuple[float, GTS.Transition]]

getVariablesEtat () → list[GTS.VariableEtat]

getVariablesFlux() → list[GTS.VariableFlux]

getTransitions() → list[GTS.Transition]

getAssertions() → list[GTS.Assertion]

getDate() → float

getEcheancier () → list[tuple[float, GTS.Transition]]

setDate(date : float) → None

Propagation() → None

MiseAJourEcheancier () → None

ProchaineTransition() → int

ProchainTir() → None

Structure d'une trame CAN

• -SOF (Start Of Frame) : début de trame, sur 1 bit.
• -Champ d'arbitrage : identificateur (11 bits) et bit de RTR (Remote Transmission Request), dominant (= 0) pour une trame de données et récessif (= 1) pour une trame de requête.
• -Champ de commande : 6 bits, dont les 4 derniers représentent le DLC (Data Length Code), c'est-à-dire le nombre d'octets présents dans le champ Data.
• -Champ de données (Data) : entre 0 à 8 octets. Dans le cas d'une trame de requête, ce champ est vide.
• -Champ de CRC (Contrôle de Redondance Cyclique) : 16 bits (15 + 1). La séquence calculée CRC est contenue dans les 15 premiers bits tandis que le dernier bit est un délimiteur de fin de champ de CRC (bit toujours récessif).
• -Champ d'acquittement (acknowledge) : 2 bits, laissés libres par la station émettrice. Le premier correspond à l'acquittement par l'ensemble des noeuds ayant reçu le message ( 0 signifie acquitté et donc, pas d'erreur détectée; 1 signifie non acquitté, émission d'une trame d'erreur). Le second est toujours récessif et délimite l' « acknowledge ».
• -EOF (End of Frame) : fin de trame, 7 bits récessifs.

Mémento Python 3

• Conteneurs numérotés (listes, tuples, chaînes de caractères)

• expression juste avec des virgules → tuple 3
• Itérateurs (objets destinés à être parcourus par in)
  range (n) : pour parcourir les n premiers entiers naturels, de 0 à n − 1 inclus. range (n, m) : pour parcourir les entiers naturels de n inclus à m exclu par pas de 1 . range (n, m, p) : pour parcourir les entiers naturels de n inclus à m exclu par pas de p. reversed (itérable) : pour parcourir un objet itérable à l'envers. enumerate (itérable) : pour parcourir un objet itérable en ayant accès à la numérotation. zip (itérable1,itérable2,...) : pour parcourir en parallèle plusieurs objets itérables.

• mots clés du langage interdits
• distinction casse min/MAJ
• a toto x7 y_max BigOne
  (i) 8% and for

1. évaluation de l'expression de droite pour créer un objet 2) nommage de l'objet créé
   x = 1.2 + 8 + sin(y)
   Affectations multiples
   <n noms> = <itérable de taille n >
   u,v,w = 1j,"a",None a, b = b, a échange de valeurs
   Affectations combinée avec une opération ◇ x⋄ = c équivaut à : x = x⋄c
   Suppression d'un nom
   del x l'objet associé disparaît seulement s'il n'a plus de nom, par le mécanisme du «ramasse-miettes»

Conteneurs : opérations génériques

Opérations sur listes

• modification «en place» de la liste L originale ces méthodes ne renvoient rien en général

Parcours de conteneurs numérotés

• Accès à chaque élément par L [index]

• Accès à une partie par L [début inclus : fin exclue : pas ]
  L[2:5]→ [30,40,50] ⇒ indices 2,3 et 4
  L[:4] → [10,20,30,40] ⇒ les 4 premiers
  L[-4:]→ [40,50,60,70] ⇒ les 4 derniers
  L[::2]→ [10,30,50,70] ⇒ de 2 en 2
  L [ : ] tous : copie superficielle du conteneur L[ : − 1] tous, de droite à gauche
  L[-2 : :-3] → [60,30] ⇒ de - 3 en -3 en partant de l'avant-dernier
  Sur les listes (conteneurs mutables), suppression d'un élément ou d'une partie par del, et remplacement par =
  L[4] = 99 → L devient [10, 20, 30, 40, 99, 60, 70] L[1::2] = "abc" itérable ayant le même nombre d'éléments que la partie à remplacer, sauf si le pas vaut 1 → L devient [10,"a",30,"b",50,"c",70]
  L[1:-1] = range(2)→L devient [10,0,1,70]

Méthodes sur les chaînes

"{} ~ {}".format("pi",3.14) → 'pi ~ 3.14'
"{1:} -> {0:}{1:}".format(3,"B") → 'B -> 3B'
"essai_{:04d}.txt".format(12) → 'essai_0012.txt'
"L : {:.3f} m".format(0.01) → 'L : 0.010 m'
"m : {:.2e} kg".format(0.012) → 'm : 1.20e-02 kg'

Mémento Python 3

True/False Logique booléenne

• -Opérations booléennes not A «non A» A and B « A et B » A or B « A ou B » (not A) and (B or C) exemple
• -Opérateurs renvoyant un booléen nom 1 is nom 2 noms du même objet? nom 1 = nom 2 valeurs identiques? Autres comparateurs : < > <= >= != (⇒) nom_objet in nom_iterable l'itérable nom_iterable contient-il un objet de valeur identique à celle de nom_objet ?

Conversions

Instruction conditionnelle

if booléen1 :

• Blocs else et elif facultatifs.
  bif/elif x : si x n'est pas un booléen équivaut en
  Python à if/elif bool (x) : (voir conversions).

(i) Une fonction fait des actions et renvoie un

• Plusieurs return possibles (interruptions) - Une absence de return signifie qu'à la fin, return None (rien n'est renvoyé)

• Autant de noms que d'objets renvoyés

Exemple
for a, b in itérable : Itérations sur des couples
bloc d'instructions
for numéro, nom in enumerate (itérable) :

• Lecture intégrale d'un seul bloc
  with open (chemin,"r",encoding="utf8") as f:
  ⇒ texte = f.read()
• Lecture ligne par ligne
  with open (chemin,"r",encoding="utf8") as f:
  ⟶ lignes = f.readlines()
  (Nettoyage éventuel des débuts et fins de lignes)
  lignes = [c.strip() for c in lignes]
• Écriture dans un fichier
  with open(chemin,"w",encoding="utf8") as f:
  f.write(début)...
  ⋮
  f.write(suite)...
  ⋮
  f.write(fin)

Mathématiques

• Fonctions intrinsèques abs (x) valeur absolue / module round (x, n) arrondi du float x à n chiffres après la virgule pow (a, b) équivalent à a**b pow (a, b, p) reste de la division euclidienne de a^b par p
  z. real → partie réelle de z
  z. imag → partie imaginaire de z
  z.conjugate() → conjugué de z

import sys

Gestion basique d'exceptions

Importation de modules

• Importation d'objets par leurs noms
  from mon mod import nom1, nom2
• Importation avec renominage
  from mon_mod import nom1 as n1
• Importation du module complet import mon_mod ⋮
  ... mon_mod.nom1 ...
• Importation du module complet avec renommage import mon_mod as mm ⋮
  ... mm.nom1 ...

Programme utilisé comme module

• Bloc-Test (non lu en cas d'utilisation du programme mon_mod.py en tant que module) if name == " main " : " : ⋮
  from time import time time
  debut = time()
  ⋮ (instructions) duree = time()

• debut

Mémento Python 3

Aide numpy/scipy

import numpy as np

Modules random et numpy . random

Tirages pseudo-aléatoires

Tableaux numpy .ndarray : généralités

• Un tableau T de type numpy , ndarray («n-dimensional array») est un conteneur homogène dont les valeurs sont stockées en mémoire de façon séquentielle.
  T. ndim → «dimension d» = nombre d'indices (1 pour un vecteur, 2 pour une matrice)
  T. shape → «forme» = plages de variation des indices, regroupées en tuple ( n_0, n_1, …, n_(d − 1) ) : le premier indice varie de 0 à n_0 − 1, le deuxième de o à n_1 − 1, etc.
  T.size → nombre d'éléments, valant n_0 × n_1 × ⋯ × n_(d − 1)
  T. dtype → type des domnées contenues dans le tableau (np.bool, nb.int32, np.uint8, np.float, np.complex, np.unicode, etc.)
  import numpy.random as rd
  rd.rand (no,...,nd-1) → Tableau de forme (no ,..., nd-1), de flottants dans l'intervalle [0,1] (loi uniforme)
  rd.randint ( a, b, shp ) - Tableau de forme shp, d'entiers entre a inclus et b exclu (équiprobabilité)
  rd.randint (n, size = d) → (équiprobabilité)
  rd. choice(Omega,n,p=probas) → Tirage avec remise d'un échantillon de taille n dans Omega, avec les probabilités probas
  rd.choice(Omega,n,replace=False) → Tirage sans remise d'un échantillon de taille n dans Omega (équiprobabilité)
  rd.normal ( m, s, shp ) → Tableau de forme shp de flottants tirés selon une loi normale de moyenne m et d'écart-type s
  → Tableau de forme shp de flottants tirés selon une loi uniforme sur l'intervalle [a, b[
  shp est la forme du tableau créé, data_type le type générateurs

- Le passage maîtrisé list ↔ ndarray permet de

Conversions

new_T = T.astype ( data_type ) → Conversion des données

T = np.empty (shp,dtype=data_type) → pas d'initialisation

• Tableaux de même forme que T (même type de données que T si ce n'est pas spécifié) :
  S = np.empty_like(T,dtype=data_type)
  S = np.zeros_like(T,dtype=data_type)
  S = np.ones_like(T,dtype=data_type)

- Un vecteur V est un tableau à un seul indice

• Comme pour les listes, V [i] est le (i + 1)^(eme) coefficient, et l'on peut extraire des sous-vecteurs par : V[:2], V[-3:], V[::-1], etc.

Vecteurs

générateurs

\section*{Matrices}

\section*{générateurs}

- Une matrice M est un tableau à deux indices

• M[i, j] est le coefficient de la ( i + 1 )-ième ligne et ( j + 1 )-ième colonne
• M[i, : ] est la (i + 1)-ième ligne, M[ :, j] la (j + 1)-ième colonne,
• M[i, : ] est la (i + 1)-ième ligne, M[ :, j] la (j + 1)-ième colonne, M[i : i + h, j : j + l] une sous-matrice h × l M[i : i + h, j : j + l] une sous-matrice h × l
• Opérations : voir Vecteurs
• Opérations : voir Vecteurs
• Produit matriciel : M. dot (V) ou np.dot (M, V) ou M@V
• Produit matriciel : M. dot (V) ou np.dot (M,V) ou M@V
  M.transpose(),M.trace() → transposée, trace
  M.transpose(),M.trace() → transposée, trace
• Matrices carrées uniquement (algèbre linéaire) :
• Matrices carrées uniquement (algèbre linéaire) :
  import numpy.linalg as la
  import numpy.linalg as la ("Linear algebra") ("Linear algebra")
  la.det(M), la.inv (M) → dėterminant, inverse
  la.det(M), la.inv (M) → dėterminant, inverse
  vp = la.eigvals(M)
  vp = la.eigvals(M) → vp vecteur des valeurs propres → vp vecteur des valeurs propres
  vp, P = la.eig(M)
  vp, P = la.eig(M) → P matrice de passage → P matrice de passage
  la.matrix_rank(M),
  la.matrix_rank(M), X = la.solve(M, V) X = la.solve(M, V)

Tableaux booléens, comparaison,tri

\section*{Intégration numérique}

Mémento Python 3

import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(mon_titre, figsize=(W,H)) crée ou sélectionne une figure dont la barre de titre contient

    mon_titre et dont la taille est WxH (en inches, uniquement lors de la création de la figure)
plt.plot(X,Y,dir_abrg) trace le nuage de points d'abscisses dans X et d'ordonnées dans Y; dir_abrg est une chaîne
    de caractères qui contient une couleur ("r"-ed, "g"-reen, "b"-lue, "c"-yan, "y"-ellow, "m"-agenta,
    "k" black), une marque (voir ci-dessous) et un type de ligne ("" pas de ligne, "-" plain, "--" dashed,
    ":" dotted, ...)
    - Options courantes : label=... étiquette pour la légende
    linewidth=... épaisseur du trait (0 pour aucun trait) dashes=... style de pointillé (liste de longueurs)

    color=... couleur du trait : ( r,g,b) ou "m", "c",... marker=... forme de la marque :
        Oo绍 ▷ < 偌 口 ◇ ◇ 0 0 0 0 y i r r + X
        "o" "." "*" ">" "<" "^" "v" "s" "d" "D" "p" "h" "H" "8" "1" "2" "3" "4" "+" "x"
    markersize=... taille de la marque markeredgewidth=... épaisseur du contour
    markeredgecolor=... couleur du contour markerfacecolor=... couleur de l'intérieur
plt.axis("equal"), plt.grid() repère orthonormé, quadrillage
plt.xlim(a,b), plt.ylim(a,b) plages d'affichage; si a > b, inversion de l'axe
plt.xlabel(axe_x,size=s,color=(r,g,b)), plt.ylabel(axe_y,...) étiquettes sur les axes,
    en réglant la taille s et la couleur de la police de caractères (r, g et b dans [0,1])
plt.legend(loc="best",fontsize=s) affichage des labels des "plot" en légende
plt.show() affichage des différentes figures et remise à zéro
plt.twinx() bascule sur une deuxième échelle des ordonnées apparaissant à droite du graphique
plt.xticks(Xt), plt.yticks(Yt) réglage des graduations des axes
plt.subplot(nbL,nbC,numero) début de tracé dans un graphique situé dans un tableau de graphiques à
    nbL lignes, nbC colonnes ; numero est le numéro séquentiel du graphique dans le tableau (voir ci-contre).
plt.subplots_adjust(left=L,right=R,bottom=B,top=T,wspace=W,hspace=H)
    ajustement des marges (voir ci-contre)

plt.title(Titre_du_graphique) rajout d'un titre au graphique en cours de tracé
plt.suptitle(Titre_général) rajout d'un titre à la fenêtre de graphiques

plt.text(x,y,texte,fontdict=dico,horizontalalignment=HA,verticalalignment=HV)

    tracé du texte texte à la position (x,y), avec réglage des alignements (HA f{"center","left","right"},

    HV ={"center", "top", "bottom"}) ; dico est un dictionnaire (voir ci-contre)

plt.axis("off") suppression des axes et du cadre

plt.imshow(T,interpolation="none",extent=(gauche,droite,bas,haut)) tracé d'une image

    pixélisée non lissée à partir d'un tableau T (nL ×nc × 4 format RGBA, nL×nc×3 format RGB) ; l'option extent

    permet de régler la plage correspondant à l'image ( (-0.5, nc-0.5, nL-0.5, -0.5) par défaut)

plt.imshow(T,interpolation="none",vmin=vmin,vmax=vmax,cmap=palette,

    extent=(gauche ,droite ,bas ,haut) ) tracé d'une image pixélisée non lissée à partir d'un tableau T
    dict1.update(dict2)

Supprimer un entrée ：del D［key］

Dictionnaire vide ： D = dict() ou D = {}

    palette:voir https://matplotlib.org/examples/color/colormaps_reference.html)

plt.colorbar(schrink=c) Affichage de l'échelle des couleurs du tracé précédent sur la plage [, vmin ,vmax]

Calcul formel avec sympy

Nombres exacts

Rationnels : sb.Rational (2,7)
    ou sb.S(2)/7

Irrationnels :
    sb.sqrt(2) 左
    sb.pi, sb.E 爪0t
sb.I i tel que i
Fonctions mathématiques
    sb.sqrt, sb.exp → Racine carrée, exponentielle,
sb.log, sb.factorial → Logarithme népérien, factorielle
sb.cos, sb.sin, sb.tan → Fonctions trigonométriques
sb.acos, sb.asin, sb.atan → Fonctions trigonométriques
        réciproques
sb.atan2(y,x) → Angle dans]-π,π]
sb.cosh, sb.sinh, sb.tanh (trigonométrie hyperbolique)
sb.acosh, sb.asinh, np.atanh
Expressions symboliques A et B
    Égalités et équations
A == B → Booléen : identité parfaite des expressions
A.equals (B) → Booléen : égalité après simplifications
sb.Eq(A,B) → Équation: booléen seulement si l'équation
    peut être identifiée comme vraie ou fausse
sb.Ne(A,B) ou Lt, Le, Gt, Ge →Inéquations ₹ < < > > \