Agrégation informatique externe 2026, épreuve 2, option ingénierie informatiqueSujet

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Systèmes de surveillance de la qualité de l'air

Table des matières

Conventions de notation mathématique

• -Les grandeurs vectorielles spatiales sont écrites en caractères italiques gras ; implicitement, si v est un vecteur, alors v représente sa norme; quant au produit vectoriel, il est noté ×.
• -Les grandeurs matricielles sont simplement écrites en caractères gras (non italiques).
• -Les grandeurs complexes, c'est-à-dire à valeurs dans ℂ, sont écrites en caractères soulignés. L'unité imaginaire est notée ı (sans point).

Présentation générale

• -En 2021, l'agence nationale Santé publique France a évalué les conséquences de l'exposition chronique aux particules fines à 40000 décès annuels [2], soit environ 10 fois plus que le chiffre de la mortalité routière.
• -En 2015, une commission d'enquête du Sénat a chiffré le coût économique et financier annuel de la pollution de l'air à environ 100 milliards d'euros [3], soit environ 4% du PIB français.

• -un réseau de stations de mesure des principaux polluants aériens, placées sur des sites représentatifs de différents milieux de vie (urbain, rural, etc.) ;
• -un système d'information permettant d'estimer en temps-réel avec une bonne résolution spatiale les niveaux de concentration des polluants et de prédire leur évolution à brève échéance.

Figure 1 - Carte (partielle) des stations de mesure en Île-de-France www.airparif.fr/carte-des-stations

Figure 2 - Aspect extérieur et intérieur d'une station de mesure (source Airparif)

Figure 3 - Carte interactive de la qualité de l'air en Île-de-France (www.airparif.fr)

Cas des particules fines

• -une grande diversité de composition des particules - qu'on présente typiquement dans les catégories « carbone suie » (EC pour elementary carbon, aussi appelé black carbon), « matière organique » (OM), « aérosols inorganiques secondaires » (SIA), « poussières crustales » (CD), « sels de mers » (SS) et autres (dont les oxydes métalliques d'origine anthropique. . .);
• -des proportions significativement différentes des types chimiques de particules selon que la station de mesure est en milieu rural, urbain ou à proximité d'un axe à fort trafic routier ;

Figure 4 - Composition d'échantillons de particules PM_(2.5) prélevées en Île-de-France sur 3 sites (moyennes annuelles de concentration indiquées entre parenthèses)

• -une microbalance à cône oscillant (tapered element oscillating microbalance - teom [9]), dont la fréquence d'oscillation varie avec la masse déposée sur son élément conique ;
• -un analyseur de masse à atténuation bêta (beta attenuation monitoring - BAM [10]), qui détermine, par absorption de rayonnement, la masse des particules piégées sur un filtre ruban.

Cas du dioxyde d'azote

1 - Technologie des compteurs optiques de particules

Mise en situation

Fig. 5 - La sonde NextPM

• -Un système de drainage à débit connu (typiquement, un ventilateur dont la fréquence de rotation est asservie) véhicule un flux d'air ambiant entre deux orifices, l'un d'admission et l'autre d'échappement.
• -Une source de lumière (typiquement, un tube à diode laser) engendre un faisceau qui traverse le flux d'air dans une zone appelée chambre de diffusion (scattering chamber); au delà, ce faisceau est absorbé dans une chambre d'extinction (light dump).

Fig. 6 - Technologie d'un opc

• -Une cellule photosensible (typiquement, une photodiode) positionnée à quelques mm de la chambre de diffusion mesure la lumière diffusée (scattered light) par les particules dans le flux d'air et éclairées par la source.

• Une carte électronique (non représentée sur la figure 6) compte les impulsions de lumière captées et, via une chaîne d'amplification, quantifie leur amplitude afin d'en déduire la taille des particules; moyennant certaines hypothèses, elle détermine alors leur concentration massique.

1.1 Caractérisation de l'onde diffusée par une particule

• La diffusion lumineuse (light scattering) est le phénomène optique qui donne au ciel sa couleur bleue et aux nuages leur couleur blanche, ou encore qui permet de voir de côté le faisceau d'un phare dans la nuit. En effet, lorsque qu'une onde lumineuse incidente rencontre une particule de matière, cette dernière la diffuse dans toutes les directions de l'espace, de façon anisotrope, par le jeu de multiples interactions (réflexion, diffraction, réfraction - cf. la figure 7 ci-contre). Ce phénomène a été théorisé en 1908 par le physicien allemand Gustav Mie comme une solution exacte particulière des équations de Maxwell, d'où le nom de théorie ou diffusion de Mie.

Fig. 7 - Principe de la diffusion de Mie

• -La source de lumière est caractérisée par sa longueur d'onde λ = 650 nm dans le vide (valeur typique d'un laser rouge) et une polarisation linéaire constante d'amplitude électrique maximale notée E_0.
• -Le milieu de propagation est l'air, réputé linéaire, homogène, isotrope, non absorbant et non dispersif, avec un indice de réfraction n ≈ 1, 0003 pour la longueur d'onde λ. On peut donc raisonnablement prendre n ≈ 1 dans tous les calculs qui suivent.
• -On associe à ce milieu un repère cartésien (O, x, y, z), en plaçant l'origine O au centre de la particule de matière et en considérant l'axe z comme la direction de propagation de l'onde incidente, l'axe x étant la direction de polarisation.
• -Pour simplifier les expressions, on pose ψ = 0 où ψ est le retard de phase à l'origine.

• La particule de matière est supposée sphérique de diamètre d compris entre 0,1 et 10μ m, et constituée d'un matériau homogène, isotrope, d'indice de réfraction complexe n_–_1.

Figure 8 - Géométrie de la diffusion de Mie (amplitudes non réalistes pour une bonne visualisation des ondes)

• La particule de matière peut être vue comme un système optique qui transforme l'onde incidente en une onde diffusée. Compte tenu des hypothèses précédentes, la théorie de Mie établit la relation entre les deux fonctions onde E_–_(inc) et E_–_(sca) sous la forme de l'équation vectorielle complexe suivante :

1.2 Modélisation du mesurande d'un OPC

• Dans les formules de la théorie de Mie intervient fréquemment le paramètre de taille, noté x et défini par x = πd/λ. C'est donc le rapport entre le périmètre de la section transversale de la particule et la longueur d'onde de l'onde incidente dans son milieu de propagation. Au delà de son utilité théorique, le paramètre de taille x est aussi, dans la pratique, un indicateur dimensionnel pertinent pour juger de la bonne adéquation de la théorie de Mie au problème considéré. En effet, pour obtenir des approximations numériques satisfaisantes de l'éclairement diffusé par la particule, il est réputé nécessaire de calculer au moins N = x + 4x^(1/3) + 2 coefficients de Mie ^3.

• La théorie de Mie met également en évidence le fait que la zone d'influence de la particule sur l'onde incidente est plus grande que la particule elle-même, notamment à cause des phénomènes bien connus de diffraction se produisant aux abords de la matière. Cet aspect est caractérisé par la notion de pouvoir de diffusion (en anglais, scattering efficiency). C'est un nombre réel positif sans dimension qui est défini comme le quotient Q_(sca) = P_(sca)/P_(inc) où :

• - P_(sca) est la puissance de l'onde diffusée par la particule ;
• - P_(inc) est la puissance reçue par la particule en étant éclairée par l'onde incidente.

• -le pouvoir d'absorption Q_(abs) = P_(abs)/P_(inc) où P_(abs) est la puissance absorbée par la particule;
• -le pouvoir d'extinction (ou de dissipation) Q_(ext) = Q_(sca) + Q_(abs);

import numpy as np
import miepython as mie
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.integrate as spi
### Particle CRI taken at wl = 650 nm from https://refractiveindex.info/
materials = [
    {
        'name' : 'quartz', # SiO2
        ′cri′ : 1.4565 + 0.0j,
        'color': 'goldenrod'
    },
    {
        'name' : 'diesel soot', # Elementary carbon
        ′cri′ : 1.649 + 0.288j,
        'color': 'darkgreen'
    },
    {
        'name' : 'iron oxydes', # Fe203 (50%), Fe304 (50%)
        ′cri′ : 2.72 + 0.0975j,
        'color': 'dodgerblue'
    }
]
### Geometrical parameters
wl = 650.0 # incident wavelength in the vacuum (in nm)
d = 2.5E3 # particule diameter (also in nm)
x = ??? # size parameter (dimensionless)
s = ??? # particle cross section (in um^2)
### Efficiencies and cross sections display
print(f"Size parameter x = {x:.2f} particle cross section s = {s:.2f} um^2")
print(f"{'MATERIAL':>12}{'Qsca':>8}{'Ssca':>8}{'Qabs':>8}{'Sabs':>8}")
??? # one line per material to be displayed

Size parameter x = 12.08 particle cross section s = 4.91 um^2

• La théorie de Mie quantifie l'éclairement énergétique E_(e sca) de l'onde diffusée tout autour de la particule, dans un angle solide Ω donné ^5. Avec les hypothèses précédentes, elle établit que E_(esca)(Ω) est invariant par rotation selon l'angle azimutal φ, mais en revanche très dépendant de l'angle polaire θ. Pour caractériser cette dépendance, elle définit la fonction de phase :

### Phase functions display
fig1, ax1 = plt.subplots(subplot_kw={'projection': 'polar'})
ax1.set_yscale('log') # Set logarithmic radial scale
p_max = ??? # initial absolute max value of all phase functions
p_min = ??? # initial absolute min value of all phase functions
theta_range = ??? # [0; pi] with a 0.2 degree resolution
mu_range = ??? # mu = cos(theta)
for material in materials:
    s1_range, s2_range = mie.S1_S2(material['cri'], x, mu_range, 'one')
    p_range = ??? # values of the current phase function
    p_min = ??? # conditional update
    p_max = ??? # conditional update
    ax.plot(theta_range, p_range, material['color'], linewidth=1.5)
ax1.set_rmin(???) # Set the 10^k_min radius to be displayed on the grid
ax1.set_rmax(???) # Set the 10^k_max radius to be displayed on the grid
# . . .

• Elle prend pour paramètre géométrique principal non pas θ mais μ = cosθ, car c'est cette expression qu'on trouve directement dans le calcul des coefficients de Mie.
• Elle distribue le facteur √f dans chacune des valeurs de retour S1 et S2, sachant que les valeurs « brutes » de S_–_1 et S_–_2 sont calculées par la fonction de bas niveau _S1_S2.

Figure 10 - Courbes représentatives de la fonction de phase de trois matériaux

• Dans le programme donné en page 11, à l'appel de la fonction S1_S2, la valeur de l'argument effectif du facteur de normalisation codée ' one' modifie le calcul des valeurs de retour S1 et S2 de telle sorte que la somme intégrale de la fonction de phase p soit unitaire sur l'angle solide plein 4π sr, c'est-à-dire :

delta = ??? # in rad
theta1, theta2 = ??? # also in rad
phi_width = ??? # phi_2 - phi_1
theta_range = ??? # [theta1; theta2] with a 0.2 deg resolution
mu_range = ??? # u = cos(theta)

fig2, ax2 = plt.subplots()
d_range = ??? # diameters from 0.1 to 10 um (in nm)
for material in materials:
    mesurand_range = [] # Initialize results array
    for d in d_range:
        x = ??? # size parameter (dimensionless)
        s = ??? # particle cross section (in um^2)
        qext, qsca, _, _ = ??? # efficiencies
        s1_range, s2_range = ??? # scattering amplitude coefficients
        # phase function weighted before integration over theta and phi
        wp_range = ???
        # phase function integrated, scalled by Ssca
        wp_integral = ???
        mesurand_range.append(wp_integral)
    ax2.plot(???, # diameters in um
            ???, # mesurands
            color=material['color'],
            linewidth=2)
# . . .

Figure 12 - Courbes théoriques de mesurande pour trois matériaux

1.3 Principe de mesure d'un OPC

• Dans la pratique, le système de mesure d'un OPC repose sur une partition de la pleine échelle des diamètres d des particules en une série de n intervalles D_n, qu'on appelle des canaux (en anglais, channels ou bins). Ces canaux sont mis en correspondance biunivoque (autrement dit, en bijection) avec une partition en n intervalles de l'excursion de la tension U lue aux bornes de la photodiode (après amplification). La correspondance est établie lors d'une phase d'étalonnage en soumettant l'opc à des aérosols monodispersés (c'est-à-dire contenant des particules sphériques de diamètre calibré - typiquement du latex de polystyrène ou du verre sodocalcique).

• -Dans chaque intervale D_i, on calcule le volume V_i des particules comptées par c_i en les considérant toutes sphériques ^7 de même diamètre aérodynamique égal à la médiane (ou milieu) d_i des bornes de l'intervalle.
• -Puis on somme dans un total V les volumes V_i pertinents pour chaque catégorie normalisée de particules fines (par exemple, V = V_1 + V_2 + V_3 pour les PM_(2.5) − cf. p. 3).
• -Enfin, on multiplie ce volume total V par une valeur de masse volumique considérée comme moyenne dans l'environnement ^8 avec une mise à l'échelle en fonction des unités employées.

• Pour déterminer la concentration massique en particules fines - a priori de toutes formes et potentiellement poreuses - à partir d'un volume calculé sur la base d'enveloppes sphériques, la masse volumique apparente [15] (en anglais, bulk density) est une grandeur répertoriée qui fournit une approximation convenable (en tout cas meilleure que la masse volumique absolue), puisqu'elle inclut un volume d'air interstitiel dans le calcul. Elle peut être estimée expérimentalement par la masse d'échantillons prélevés sur des filtres, rapportée à leur volume enveloppe sans tassement, donc incluant un volume d'espaces interstitiels. Dans la pratique, la valeur ρ_m = 1, 65 g cm^(− 3) est usuellement retenue comme moyenne de celle des particules d'aérosols en environnement urbain [16]. Par ailleurs, on trouve dans la littérature scientifique les estimations ρ_1 = 2, 2 g cm^(− 3) et ρ_2 = 1, 2 g cm^(− 3) respectivement pour les particules d'usure de systèmes de freinage (oxydes de fer) [17] et de suie de diesel [18].

2 - Calibrage de capteurs électrochimiques de NO_2

Figure 14 - a) Système embarqué de mesure de qualité de l'air développé par la société Waag b) Vues de dessus et latérale du capteur NO2-B43F c) Schéma de principe d'utilisation du capteur NO2-B43F

2.1 Principe du capteur et récupération des données

• -les électrodes de référence (R) et la contre-électrode (C). Ces deux électrodes sont nécessaires pour polariser les jonctions électro-chimiques et une différence de potentiels contrôlée et égale à une tension nommée V_(ref) y est appliquée,
• -l'électrode de travail (W pour working electrode) est située dans la cellule électrochimique en contact avec le gaz mesuré,
• -l'électrode auxiliaire (A) est située dans la cellule électrochimique qui n'est pas en contact avec le gaz mesuré mais dans un environnement de contrôle (la concentration en NO_2 à son contact peut être considérée nulle en première hypothèse).

• 1.il est nécessaire de le calibrer en utilisant une mesure de référence,
• 2.il est potentiellement sensible mais dans une moindre mesure à d'autres quantités physicochimiques.

• -une phase de calibrage a permis de récolter des données utilisées pour identifier les modèles des capteurs à bas cout. Pour ce faire l'ensemble des systèmes ont été placés à proximité immédiate d'une station de mesure classique. Ce phase a été répétée deux fois : du 2 au 10 juin 2016 puis du 18 au 29 août 2016;
• -une phase d'utilisation, pendant laquelle des particuliers se sont vu confier un système faible cout, déployé librement, et dont les emplacements ont été enregistrés (latitude/longitude). Cette phase s'est déroulée entre le 11 juin et le 17 août 2016.

Figure 15 - a) Position des capteurs pendant la phase de mesure b) Installation des systèmes à bas coût à la station de mesure pour la calibrage.

import pandas as pd
file_waag = '../making-sensor-master/data/sensormeasures.csv.zip'
file_station = '../making-sensor-master/data/AMS_hourly_airboxdata_total.CSV'
if __name__ == "__main__":
    ########################
    ## Sensor data loading ##
    #########################
    print("Data collected with sensors")
    data_waag = pd.read_csv(file_waag, compression='zip')
    print(data_waag.head())
    ########################
    ## Station data loading ##
    #########################
    print("Data collected with Airboxes")
    data_station = pd.read_csv(file_station)
    print(data_station.head())

Data collected with sensors
(1593993, 11)

Data collected with Airboxes
(2235, 9)

• -contient les données correspondant au numéro de capteur choisi,
• -contient une nouvelle colonne avec les dates converties en 'pd. TimeStamp'

• ne contient plus les données des colonnes de l'identifiant du capteur, du format de date initial, du topic, du rssi et du message.

def extract_sensor_data(df, sensor_No):
    """
    Load sensor data from the main dataframe.
    Parameters:
    df : DataFrame
        The main DataFrame containing sensor data.
    sensor_No : int
        The sensor number to filter the data.
    Returns:
    DataFrame
        Filtered and processed sensor data with a 'TimeStamp' column.
    """

def align_data(sensor_data, station_data, cal_start, cal_end):
    """
    Align sensor data for calibration.
    """
    # bloc de code n1
    sensor_data_cal = sensor_data.query('TimeStamp == @cal_start or TimeStamp
        == (cal_end')
    # bloc de code n2
    station_data.insert(0, 'TimeStamp', pd.to_datetime(station_data['Time'],
        format='mixed', dayfirst=True).map(lambda x: x.tz_localize(tz='Europe/
        Amsterdam')))
    station_data = station_data.sort_values(by='TimeStamp')
    station_data = station_data.drop(columns=['Time'])
    station_data_cal = station_data.query('TimeStamp == @cal_start or TimeStamp
        == (ccal_end')

# bloc de code n3
sensor_data_cal['TimeStamp'] = sensor_data_cal['TimeStamp'].dt.round('h')
sensor_data_cal['TimeStamp'] = sensor_data_cal['TimeStamp'].dt.tz_convert('
    Europe/Amsterdam')
sensor_averaged_data_cal = sensor_data_cal.groupby('TimeStamp').mean()
# bloc de code n4
aligned_data = pd.merge_asof(station_data_cal, sensor_averaged_data_cal, on
    ='TimeStamp')
return aligned_data

2.2 Modélisation linéaire et modélisation multivariée du capteur

import numpy as np
def regression_lineaire(X, Y):
    """
    Calculate the slope and intercept of the linear regression line
    for the given data points X and Y.
    """
    X = np.asarray(X)
    Y = np.asarray(Y)
    a = ???
    b = ???
    R2 = 1 - np.sum((Y - (a * X + b)) ** 2) / np.sum((Y - np.mean(Y)) ** 2)
    return a, b, R2

• -d'isoler les données du capteur 55303 sur la durée de la première phase de calibrage,
• -d'isoler les données de la station sur la durée de la première phase de calibrage,
• -d'uniformiser les données capteur et de la station,
• -d'identifier le modèle univarié (fonction linéaire) du capteur.

Slope (a): -0.31905627197832465, Intercept (b): -5.609677177178369, R^2: 0.05880959169465405

def multilinear_regression(Y, X):
    """
    Perform multilinear regression
    Parameters:
    Y : array-like
        Dependent variable.
    X : array-like
        Independent variables, should be a 2D array with shape (n_samples,
            n_features).
    Returns:
    arraylike
        Coefficients of the regression model, including the intercept
    float
        R-squared value of the model.
    """

Figure 18 - Résultats au cours de la phase de calibrage de suivi en station et de prédiction à partir de capteurs à faible coût de la concentration de NO_2 pour : a) le modèle A , b) le modèle B .

3 - Cartographie du taux de particules fines dans une zone

Figure 19 - Zone du plan considérée pour X_(max) = 6 et Y_(max) = 5.

3.1 Interpolation par pondération inverse de la distance

• -si s possède un capteur c_i, alors v^(s) = m_i,
• -si s ne possède pas de capteur, par estimation avec la formule :
  v^(s) = (∑_(i = 1)^N w_i(s, c_i) × m_i)/(∑_(i = 1)^N w_i(s, c_i)) où w_i(s, c_i) = 1/(d(s, c_i)^2)

import math
class Capteur:
    def __init__(self, x, y, mesure=None):
        self.x = x
        self.y = y
        self.mesure = mesure
    @property
    def __repr__(self):
        return f"Capteur (x={self.x}, y={self.y}, mesure={self.mesure})"

• 1.Définir la fonction Calcul_vchapeau(dico_capteur, x, y) qui retourne v^(s) pour un sommet s ∈ {(x, y) ∈ {0, …, X_(max)} × {0, …, Y_(max)}}.

2. Compléter la fonction IDW_1(dico_capteur, Xmax, Ymax) qui retourne dans grille les valeurs v^(s) pour s ∈ {(x, y) ∈ {0, …, X_(max)} × {0, …, Y_(max)}}.

    def IDW_1(dico_capteur, Xmax, Ymax):
        grille = [[0 for x in range(Xmax+1)] for y in range(Ymax+1)]
        # A COMPLETER
        return grille

• 3.Évaluer la complexité de ces deux fonctions. Justifier les réponses.