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BCE Maths appliquees HEC ECE 2000

Epreuve de maths appliquees - ECE 2000

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsStatistiquesInformatique
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Banque
BCE
Année
2000
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2000ECE MathématiquesMathématiques 2000

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Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2000.

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61bcd3e1-fe5d-4490-bb51-798b8329f22c

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P. - E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES II
Mardi 16 Mai 2000, de 8h. à 12h.

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Ce problème se compose de cinq parties : il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique.
Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il l'indiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème, désigne un entier naturel non nul.
On considère une urne contenant boules numérotées de 1 à .
On tire une boule au hasard dans . On note le numéro de cette boule.
Si est égal à 1 , on arrête les tirages.
Si est supérieur ou égal à 2 , on enlève de l'urne les boules numérotées de à (il reste donc les boules numérotées de 1 à ), et on effectue à nouveau un tirage dans l'urne.
On répète ces tirages jusqu'à l'obtention de la boule numéro 1 .
On note la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule numéro 1 .
On note la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.
On note et (respectivement et ) l'espérance et la variance de (respectivement ).

Partie 1.

  1. On pose : .
    a. Montrer, pour tout entier naturel non nul, les inégalités : où ln désigne le logarithme népérien.
    b. En déduire les inégalités :
    c. Déterminer un équivalent simple de quand tend vers l'infini.
  2. On pose : .
    a. Montrer, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , l'inégalité : .
    b. En déduire la majoration : .
    c. Déterminer un équivalent simple de quand tend vers l'infini.

Partie 2: Etude de la variable aléatoire .

On note la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans l'urne .
1.a. Quelle est la loi de ?
b. Quelle est la loi conditionnelle de sachant ?
c. Si est supérieur ou égal à 2 , montrer : .
2.a. Quelle est la loi de ?
b. Quel est l'événement ( ) ? Donner la loi de , son espérance et sa variance.
c. Calculer . Déterminer la loi de , son espérance et sa variance.
3.a. Montrer que prend ses valeurs dans .
b. Déterminer et .
c. Si est supérieur ou égal à 2, montrer la relation : .
d. Si est supérieur ou égal à 3 et supérieur ou égal à 2 , calculer : .
En déduire, si est un entier supérieur ou égal à 2 :
4.a. Si est supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant 3.d. : .
b. En déduire et donner un équivalent simple de quand tend vers l'infini.
5.a. Si est supérieur ou égal à 2 , calculer en fonction de et de .
b. En déduire : (en reprenant les notations introduites en Partie 1).
c. Donner un équivalent de quand tend vers l'infini.
6. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout entier naturel non nul, suit la loi de Bernoulli de paramètre . On pose : .
a. Vérifier que et ont même loi.
b. Si est supérieur ou égal à 2 , montrer, pour tout entier non nul :
En déduire que et ont même loi.
c. Retrouver ainsi et .
Partie 3 : Etude de la variable aléatoire .
  1. Donner la loi de .
    2.a. Quelles sont les valeurs prises par ?
    b. Déterminer la loi de .
    3.a. Si est supérieur ou égal à 2 , montrer, pour tout entier non nul et tout entier supérieur ou égal à 2 :
b. Si est supérieur ou égal à 2 , en déduire, pour tout entier supérieur ou égal à 1 :
c. Si est supérieur ou égal à 2 , montrer : .
Que vaut pour tout entier supérieur ou égal à 1 ?

Partic 4. Simulation informatique.

Dans le langage informatique PASCAL, la fonction random(n) renvoie un entier aléatoire compris entre 0 et . On donne la procédure suivante :
Procedure Truc ( n : integer ; var a,b: integer);
Var alea : integer ;
Begin
    alea:=random (n)+1;
    writeln (alea) ;
    if alea \textin begin
            a:=a+1;
            b:=b+alea;
            Truc (alea-1,a,b)
        end;
End ;
et le programme principal suivant :
Var : integer ;
Begin
;
write (' : ') ; readln (n);
Truc ( ) ;
writeln ( , );
End.
  1. Que fait ce programme ? Que représentent et ?
  2. Cet algorithme est récursif. Transformer ce programme en un programme itératif écrit en Pascal.

Partie 5.

On considère l'urne contenant boules numérotées entre 1 et . A partir de l'urne , on effectue la suite de tirages décrite dans l'en-tête du problème. Pour entier de , on définit la variable aléatoire égale à 1 si , lors d'un quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéro , égale à 0 sinon.
  1. Quelle est la loi de ? Que dire de la variable ?
    2.a. Si est supérieur ou égal à 2 , et un entier de , montrer la relation :
b. Montrer par récurrence que, pour tout de et pour tout de suit la loi de Bernoulli de paramètre .
3. Que vaut ? Retrouver ainsi .
4. Retrouver .

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