BCE Maths appliquées HEC ECE 2000, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2000

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Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2000.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P. - E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES II

Mardi 16 Mai 2000, de 8h. à 12h.

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Ce problème se compose de cinq parties : il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique.
Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il l'indiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.

Dans tout le problème,

n

désigne un entier naturel non nul.
On considère une urne

U_n

contenant

n

boules numérotées de 1 à

n

.
On tire une boule au hasard dans

U_n

. On note

k

le numéro de cette boule.
Si

k

est égal à 1 , on arrête les tirages.
Si

k

est supérieur ou égal à 2 , on enlève de l'urne

U_n

les boules numérotées de

k

n

(il reste donc les boules numérotées de 1 à

k - 1

), et on effectue à nouveau un tirage dans l'urne.
On répète ces tirages jusqu'à l'obtention de la boule numéro 1 .
On note

X_n

la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule numéro 1 .
On note

Y_n

la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.
On note

E(X_n)

V(X_n)

(respectivement

E(Y_n)

V(Y_n)

) l'espérance et la variance de

X_n

(respectivement

Y_n

Partie 1.

On pose : $h_n = \sum_(k = 1)^n 1/k = 1 + 1/2 + \dots + 1/n$ .
a. Montrer, pour tout entier naturel $k$ non nul, les inégalités : $1/(k + 1) \leq ln(k + 1) - lnk \leq 1/k$ où ln désigne le logarithme népérien.
b. En déduire les inégalités : $ln(n + 1) \leq h_n \leq 1 + lnn$
c. Déterminer un équivalent simple de $h_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
On pose : $k_n = \sum_(k = 1)^n 1/(k^2) = 1 + 1/4 + \dots + 1/(n^2)$ .
a. Montrer, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2 , l'inégalité : $1/(k^2) \leq 1/(k - 1) - 1/k$ .
b. En déduire la majoration : $k_n \leq 2$ .
c. Déterminer un équivalent simple de $h_n - k_n$ quand $n$ tend vers l'infini.

Partie 2: Etude de la variable aléatoire $X_n$ .

On note

I_n

la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans l'urne

U_n

.
1.a. Quelle est la loi de

I_n

?
b. Quelle est la loi conditionnelle de

X_n

sachant

I_n = 1

?
c. Si

n

est supérieur ou égal à 2 , montrer :

∀j ∈ ℕ^∗∀k ∈ {2, …, n} P(X_n = j/I_n = k) = P(X_(k − 1) = j − 1)

.
2.a. Quelle est la loi de

X_1

?
b. Quel est l'événement (

X_2 = 1

) ? Donner la loi de

X_2

, son espérance et sa variance.
c. Calculer

P(X_3 = 2/I_3 = 1), P(X_3 = 2/I_3 = 2), P(X_3 = 2/I_3 = 3)

. Déterminer la loi de

X_3

, son espérance et sa variance.
3.a. Montrer que

X_n

prend ses valeurs dans

{1, 2, \dots, n}

.
b. Déterminer

P(X_n = 1)

P(X_n = n)

.
c. Si

n

est supérieur ou égal à 2, montrer la relation :

\forallj \geq 2 P(X_n = j) = 1/n\sum_(k = 1)^(n - 1)P(X_k = j - 1)

.
d. Si

n

est supérieur ou égal à 3 et

j

supérieur ou égal à 2 , calculer :

nP(X_n = j) - (n - 1)P(X_(n - 1) = j)

En déduire, si

n

est un entier supérieur ou égal à 2 :

\forallj \geq 1 P(X_n = j) = (n - 1)/nP(X_(n - 1) = j) + 1/nP(X_(n - 1) = j - 1).

4.a. Si

n

est supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant 3.d. :

E(X_n) = E(X_(n - 1)) + 1/n

.
b. En déduire

E(X_n)

et donner un équivalent simple de

E(X_n)

quand

n

tend vers l'infini.
5.a. Si

n

est supérieur ou égal à 2 , calculer

E(X_n^2)

en fonction de

E(X_(n - 1)^2)

et de

E(X_(n - 1))

.
b. En déduire :

V(X_n) = h_n - k_n

(en reprenant les notations introduites en Partie 1).
c. Donner un équivalent de

V(X_n)

quand

n

tend vers l'infini.
6. Soit

(T_i)_(i \geq 1)

une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout

i

entier naturel non nul,

T_i

suit la loi de Bernoulli de paramètre

1/i

. On pose :

S_n = \sum_(i = 1)^n T_i = T_1 + \dots + T_n

.
a. Vérifier que

X_1

T_1

ont même loi.
b. Si

n

est supérieur ou égal à 2 , montrer, pour tout entier

j

non nul :

P(S_n = j) = 1/nP(S_(n - 1) = j - 1) + (n - 1)/nP(S_(n - 1) = j).

En déduire que

X_n

S_n

ont même loi.
c. Retrouver ainsi

E(X_n)

V(X_n)

Partie 3 : Etude de la variable aléatoire

Y_n

Donner la loi de $Y_1$ .
2.a. Quelles sont les valeurs prises par $Y_2$ ?
b. Déterminer la loi de $Y_2$ .
3.a. Si $n$ est supérieur ou égal à 2 , montrer, pour tout entier $j$ non nul et tout entier $k$ supérieur ou égal à 2 :

P(Y_n = j/I_n = k) = P(Y_(k - 1) = j - k)

b. Si

n

est supérieur ou égal à 2 , en déduire, pour tout entier

j

supérieur ou égal à 1 :

P(Y_n = j) = (n - 1)/nP(Y_(n - 1) = j) + 1/nP(Y_(n - 1) = j - n).

c. Si

n

est supérieur ou égal à 2 , montrer :

E(Y_n) = E(Y_(n - 1)) + 1

Que vaut

E(Y_n)

pour tout entier

n

supérieur ou égal à 1 ?

Partic 4. Simulation informatique.

Dans le langage informatique PASCAL, la fonction random(n) renvoie un entier aléatoire compris entre 0 et

n - 1

. On donne la procédure suivante :

Procedure Truc ( n : integer ; var a,b: integer);
Var alea : integer ;
Begin
    alea:=random (n)+1;
    writeln (alea) ;
    if alea \textin begin
            a:=a+1;
            b:=b+alea;
            Truc (alea-1,a,b)
        end;
End ;

et le programme principal suivant :
Var

n, a, b

: integer ;
Begin

a:=1; b:=1

;
write ('

n

: ') ; readln (n);
Truc (

n, a, b

) ;
writeln (

a =

a, b = ', b

);
End.

Que fait ce programme ? Que représentent $a$ et $b$ ?
Cet algorithme est récursif. Transformer ce programme en un programme itératif écrit en Pascal.

Partie 5.

On considère l'urne

U_n

contenant

n

boules numérotées entre 1 et

n

. A partir de l'urne

U_n

, on effectue la suite de tirages décrite dans l'en-tête du problème. Pour

i

entier de

{1, \dots, n}

, on définit

Z_i^((n))

la variable aléatoire égale à 1 si , lors d'un quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéro

i

, égale à 0 sinon.

Quelle est la loi de $Z_n^((n))$ ? Que dire de la variable $Z_1^((n))$ ?
2.a. Si $n$ est supérieur ou égal à 2 , et $i$ un entier de ${1, \dots, n - 1}$ , montrer la relation :

P(Z_i^((n)) = 1) = 1/n + \sum_(k = i + 1)^n 1/nP(Z_i^((k - 1)) = 1)

b. Montrer par récurrence que, pour tout

n

ℕ^*

et pour tout

i

{1, …, n}, Z_i^((n))

suit la loi de Bernoulli de paramètre

1/i

.
3. Que vaut

\sum_(i = 1)^n Z_i^((n))

? Retrouver ainsi

E(X_n)

.
4. Retrouver

E(Y_n)

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Partie 1.

Partie 2: Etude de la variable aléatoire X_n.

Partic 4. Simulation informatique.

Partie 5.

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Partie 2: Etude de la variable aléatoire $X_n$ .