E3A Option Informatique MP 2003Sujet

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BanqueE3A Année2003 FilièreMP MatièreInformatique

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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve d'Informatique MP durée 3 heures

L'usage de la calculatrice est interdit

Indiquez en tête de copie ou de chaque exercice le langage utilisé.

1. Calendrier

Écrire la fonction
dateValide données j, m, a : entiers résultat : booléen
qui retourne Vrai si la date représentée par le triplet

j, m, a

(jour, mois, année) est une date valide, et Faux sinon

Règles de validité d'une date :

janvier, mars, mai, juillet, août, octobre, décembre ont 31 jours ;
avril, juin, septembre, novembre ont 30 jours ;
février a 29 jours si l'année est bissextile, 28 sinon;
une année est bissextile si :
pour les années séculaires (1900,2000, etc.), elle est divisible par 400,
pour les autres années, si elle est divisible par 4 ;
on se limitera aux dates postérieures au 15 octobre 1582, date de mise en application en France de ces règles (calendrier Grégorien).

2. Résistance équivalente

Écrire la fonction

resistanceEquivalente données r: liste de réels
    résultat : réel

qui retourne la valeur de la résistance équivalente aux résistances en parallèle dont les valeurs sont contenues dans la liste

r

. On utilisera si besoin une fonction donnant le nombre d'éléments d'une liste.

3. Sous-suite de trois nombres de somme maximale.

Écrire la fonction

indiceTripletMaximal données lst : liste d'entiers
    résultat : entier

qui retourne l'indice du premier élément du triplet de somme maximale dans la liste de nombres 1 st, supposée de cardinal au moins égal à 3 .

Par exemple, pour la liste suivante

liste	$1$	$5$	$7$	$8$	$6$	$2$	$7$	$9$	$4$
indice	1	2	3	4	5	6	7	8	9

la fonction retournerait 3 , indice du premier élément du triplet

(7, 8, 6)

de somme 21 .

4. Suite ordonnée des multiples de 2,3 et 5 .

Le but de ce problème est de construire la suite ordonnée des entiers de la forme

2^p 3^q 5^r

, où

p, q

r

sont des entiers naturels.

Cette suite commence par

liste	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$	$9$	$10$	$12$	$15$	$16$
indice	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

Principe :

La liste étant en cours de construction, l'élément suivant de la liste sera à choisir parmi les nombres suivants :

2^* l[i_2], 3^* l[i_3], 5^* l[i_5]

où

i_2

(respectivement

i_3, i_5

) est l'indice du plus petit élément de la liste n'ayant pas son double (respectivement triple, quintuple) présent dans la liste.

Dans l'exemple,

i_2 = 8, i_3 = 6

i_5 = 4

, et l'élément suivant est donc à choisir parmi

2^(*9 = 18)

3^* 6 = 18

5*4 = 20

Le plus petit étant 18, c'est l'élément à ajouter à la liste. Les indices concernés par le choix (ici

i_2

i_3

) sont à augmenter de 1 , ce qui donne le tableau suivant :

liste	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$	$9$	$10$	$12$	$15$	$16$	$18$
indice	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$↑$
$i_5$	$i_3$
$i_2$

Écrire, selon ce principe, le programme qui construit la liste triée des

n

premiers nombres de la forme

2^p 3^q 5^r

5. Suites de Fibonacci

Une suite de Fibonacci généralisée est définie par

u_0 = a; u_1 = b; u_n = u_(n - 2) + u_(n - 1)

Plusieurs méthodes peuvent être envisagées pour calculer le

è n^(ème)

élément de la suite de Fibonacci initialisée par

a

b

1. Méthode récursive simple

On n'utilise pas de variable locale, on se contente de réécrire dans le langage utilisé la définition mathématique.

Écrire la fonction :

é é fibo1, données n, a, b : entiers; résultat f : entier

qui retourne le

è n^(ème)

terme de la suite de Fibonacci initialisée par

a

b

en utilisant la méthode récursive.

2. Méthode itérative

On utilise une boucle avec trois variables locales :

une variable contient l'avant dernier élément de la suite;
une variable contient le dernier élément;
une variable contient le nouvel élément.

Écrire la fonction :

é é fibo2, données n, a, b : entiers; résultat f : entier

qui retourne le

è n^(ème)

terme de la suite de Fibonacci initialisée par

a

b

en utilisant la méthode itérative.

3. La méthode la plus efficace : récursive par matrices

Montrer (mathématiquement) que $((u_n)/(u_(n + 1))) = (0, 1; 1, 1)^n(a/b)$
Écrire une fonction de multiplication de deux matrices carrées $2 \times 2$ .
Écrire une fonction d'élévation à la puissance $n$ d'une matrice carrée de $2 \times 2$ en utilisant le principe d'exponentiation rapide :

A^0 = Id; A^(2n) = A^n \cdot A^n; A^(2n + 1) = A^(2n) \cdot A

Ecrire la fonction :

é é fibo3, données n, a, b : entiers; résultat f : entier

qui retourne le

è n^(ème)

terme de la suite de Fibonacci initialisée par

a

b

en utilisant la formule

((u_n)/(u_(n + 1))) = (0, 1; 1, 1)^n(a/b).

On estime que si une addition prend une unité de temps, une multiplication en coûte 4 et une division 7. Au niveau du coût arithmétique, comparer les méthodes fibo2 et fibo3 pour calculer $u_(2003)$ .

Tournez la page S.V.P.

Exercices de recherche

Pour ces deux problèmes, vous n'êtes pas guidés. Essayez de proposer un algorithme permettant de répondre aux questions posées.

6. Suites oscillantes

Soit

f

une fonction entière à valeur entière définie de

[0; 10000]

dans

[0; 10000]

u

la suite définie par :

u_0 = a(avec 0 \leq a \leq 10000); u_(n + 1) = f(u_n)

Montrer (mathématiquement) que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est périodique à partir d'un certain rang
Écrire la fonction

periode données f: fonction; a : entier
    résultat p : entier; e : entier

qui étant donné une fonction

f

et un entier a retourne

p

(valeur de la période de la suite

u

définie par

u_0 = a

u_(n + 1) = f(u_n))

et e un élément de cette période.

7. Plateau maximal

Écrire la fonction

indicePlateauMaximal données lst : liste d'entiers
    résultat : entier

qui retourne l'indice du premier élément de la plus grande sous-liste constante de lst, liste croissante au sens large de nombres entiers.

Dans l'exemple suivant,

liste	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$	$3$	$3$	$4$	$4$	$4$	$4$	$5$	$5$	$6$	$6$	$7$
indice	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

la fonction retournerait 8 (indice de début de la plus longue sous-liste constante)

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