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E3A Mathématiques A MP 2003Sujet et corrigé

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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP
durée 4 heures

L'usage de la calculatrice est autorisée

Problème

Dans tout le problème, on considère la fonction f de la variable réelle x définie par :
f(x) = ∑_(n = 1)^∞(n^(n − 1))/(n!)x^n

Partie I

Pour tout entier naturel non nul n, on pose:
U_n = (n!e^n)/(n^n√n) et v_n = ln((U_n)/(U_(n + 1))).
  1. Pour tout x ∈ [0, 1[, montrer que :
1/2ln((1 + x)/(1 − x)) = ∑_(i = 0)^(+ ∞)(x^(2i + 1))/(2i + 1)
  1. Soit n un entier naturel strictement positif. On pose x_n = 1/(2n + 1).
    (i) Etablir les égalités :
v_n = 1/(2x_n)ln((1 + x_n)/(1 − x_n)) − 1 = ∑_(i = 1)^(+ ∞)(x_n^(2i))/(2i + 1).
(ii) En déduire que :
v_n ⩽ (x_n^2)/(3(1 − x_n^2)) = 1/(12n) − 1/(12(n + 1)).
(iii) Justifier que :
(a) La suite (ln(U_n))_(n ⩾ 1) est décroissante.
(b) La suite (ln(U_n) − 1/(12n))_(n ⩾ 1) est croissante.
3. Montrer que la suite (U_n)_(n ⩾ 1) converge vers une valeur strictement positive.
Dans la suite, on admettra que la suite (U_n)_(n ⩾ 1) converge vers la valeur √(2π). On retrouve ainsi la formule de Stirling:
n! ∼ √(2πn)n^n e^(− n).

Partie II

  1. Calculer le rayon de convergence de la série entière définissant f.
  2. En utilisant la formule de Stirling, montrer que la série de terme général n^(n − 1)e^(− n)/n ! converge.
  3. En déduire la convergence normale de la série définissant f sur [ − 1/e, 1/e].
  4. Quel est le domaine de continuité de f ?

Partie III

  1. Montrer que tout entier naturel n non nul vérifie l'inégalité :
(1 + 1/n)^n < e.
(indication : On pourra montrer que ∀x > 0, ln(1 + x) < x.)
2. Quelle est la classe de f sur l'intervalle ] − 1/e, 1/e[ ? Exprimer f^′ sous forme de série entière sur cet intervalle.
3. Montrer que f est strictement croissante sur ] − 1/e, 1/e[ (indication: On pourra regrouper les termes deux par deux dans l'expression de f^′ ).

Partie IV

Pour tout entier naturel strictement positif N, on définit A_N et B_N en posant :
A_N = ∑_(n = 1)^(2N)(n^(n − 1))/(n!)((− 1)/e)^n et B_N = ∑_(n = 1)^(2N + 1)(n^(n − 1))/(n!)((− 1)/e)^n.
  1. Montrer que les deux suites (A_N)_(N ⩾ 1) et (B_N)_(N ⩾ 1) sont adjacentes.
  2. Etablir un encadrement de f((− 1)/e) à l'aide de A_N et de B_N, pour tout entier naturel strictement positif N.
  3. Déterminer un entier naturel N tel que A_N − B_N < 10^(− 2).
  4. En déduire une valeur approchée de f((− 1)/e) à 10^(− 2) près.

Partie V

Soit m un entier naturel non nul. On considère la fonction φ définie sur ℝ par :
φ(x) = (1 − e^x)^m.
  1. Après avoir justifié que φ est une fonction de classe C^∞ sur ℝ, montrer que pour tout entier i compris entre 0 et m, il existe un polynôme P_i tel que :
∀x ∈ ℝ, φ^((i))(x) = P_i(e^x)(1 − e^x)^(m − i).
  1. En développant φ(x), montrer que:
∀m ∈ ℕ tel que m ⩾ 2, ∑_(n = 1)^m(− 1)^n C_m^n n^(m − 1) = 0.
On considère la fonction définie sur ℝ par : g(y) = ye^(− y).
3. Etudier et représenter la fonction g.
4. Montrer l'existence d'un unique réel α ∈ ] − 1, 0[ tel que αe^(− α) = − 1/e. Montrer de plus :
∀y ∈ [α, 1], g(y) ∈ [ − 1/e, 1/e].
  1. Montrer que :
∀y ∈ [α, 1], f(ye^(− y)) = ∑_(n = 1)^∞(∑_(m = n)^∞(− 1)^(m − n)(n^(m − 1))/(n!(m − n)!)y^m).
  1. Soit y ∈ [α, − α]. On considère la suite double (z_(n, m))_((n, m) ∈ ℕ^(∗2)) définie par :
z_(n, m), = (− 1)^(m − n)(n^(m − 1))/(n!(m − n)!)y^m, si 1 ⩽ n ⩽ m,; = 0, sinon .
Montrer que cette double suite est sommable.
7. En déduire que : ∀y ∈ [α, − α], f(ye^(− y)) = y.
On admettra dans ce qui suit que cette propriété est valable sur l'intervalle [α, 1].
8. Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [(− 1)/e, 1/e].
9. Que peut-on dire de la dérivabilité de f en les points d'abcisses (− 1)/e et 1/e ? Justifier précisément votre réponse.

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