Feuille d'entraînement : Cinématique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2023, Q51

   Le débit de volume Q_v à travers une section transversale S de la conduite est défini par le flux du vecteur vitesse :

   Q_v = \iint_S \vec{v} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   L'écoulement étant purement longitudinal selon \vec{e}_x et invariant par rotation d'axe (Ox), la vitesse ne dépend que de la distance radiale r. On choisit comme élément de surface une couronne d'aire \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r orientée selon \vec{e}_x.

   D'après le profil de vitesse obtenu à la question Q50 :

   v(r) = A\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \quad \text{avec} \quad A = \frac{\Delta P \, R^2}{4\eta\ell}

   Le débit s'exprime donc sous la forme :

   \begin{aligned} Q_v &= \int_0^R v(r) \, 2\pi r \, \mathrm{d}r \\ &= 2\pi A \int_0^R \left( r - \frac{r^3}{R^2} \right) \mathrm{d}r \\ &= 2\pi A \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4R^2} \right]_0^R \\ &= 2\pi A \left( \frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{4} \right) \\ &= \frac{\pi R^2 A}{2} \end{aligned}

   En remplaçant la constante A par son expression en fonction de \Delta P, R, \eta et \ell, on aboutit à la loi de Hagen-Poiseuille :

   \boxed{Q_v = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta\ell}}

   Résultat

   $$Q_v=\frac{\pi R^4\Delta P}{8\eta \ell }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2020, Q37

   Pendant un intervalle de temps infinitésimal \mathrm{d}t, les particules de fluide situées au voisinage d'un point \vec{r} se déplacent du vecteur déplacement élémentaire :

   \mathrm{d}\vec{\ell} = \vec{v}(\vec{r}, t)\,\mathrm{d}t.

   Les particules de fluide qui traversent l'élément de surface orienté \mathrm{d}\vec{S}(\vec{r}) entre les instants t et t + \mathrm{d}t sont celles qui se trouvaient initialement à l'intérieur d'un cylindre élémentaire de base \mathrm{d}\vec{S} et de génératrice \vec{v}(\vec{r}, t)\,\mathrm{d}t.

   Le volume de ce cylindre est donné par le produit scalaire :

   \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}\vec{S} \cdot (\vec{v}\,\mathrm{d}t) = (\vec{v} \cdot \mathrm{d}\vec{S})\,\mathrm{d}t.

   La quantité élémentaire de soluté (nutriments) présente dans ce volume, où la concentration molaire locale vaut c(\vec{r}, t), s'écrit donc :

   \delta n = c(\vec{r}, t)\,\mathrm{d}\tau = c(\vec{r}, t)\,(\vec{v}(\vec{r}, t) \cdot \mathrm{d}\vec{S})\,\mathrm{d}t.

   Le flux molaire convectif élémentaire traversant cette surface est défini par :

   \mathrm{d}\Phi_{\mathrm{conv}} = \frac{\delta n}{\mathrm{d}t} = c(\vec{r}, t)\,\vec{v}(\vec{r}, t) \cdot \mathrm{d}\vec{S}.

   Or, par définition du vecteur densité volumique de courant de matière \vec{\jmath}_{\mathrm{conv}}, ce flux s'écrit pour toute surface \mathrm{d}\vec{S} sous la forme :

   \mathrm{d}\Phi_{\mathrm{conv}} = \vec{\jmath}_{\mathrm{conv}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.

   Par identification, on en déduit l'expression de la densité de courant liée à la convection :

   \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{conv}} = c(\vec{r}, t)\,\vec{v}(\vec{r}, t)}

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{conv}}=c(\vec{r},t)\vec{v}(\vec{r},t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2025, Q10

   Le nuage est modélisé par un parallélépipède de largeur constante W_0, de longueur L(t) et de hauteur h(t). Son volume à l'instant t s'écrit :

   V(t) = L(t)\,h(t)\,W_0

   Puisque le volume du nuage reste constant au cours de l'écoulement, il est égal à sa valeur initiale à t = 0 :

   L(t)\,h(t)\,W_0 = L_0\,h_0\,W_0 \implies h(t) = \frac{L_0\,h_0}{L(t)}

   D'après le résultat de la question Q8, la vitesse du front s'exprime par :

   u(t) = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = F \sqrt{g\,\frac{\Delta\rho}{\rho_0}\,\psi\,h(t)}

   En remplaçant h(t) par son expression en fonction de L(t), on obtient :

   \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = F \sqrt{g\,\frac{\Delta\rho}{\rho_0}\,\psi\,\frac{L_0\,h_0}{L(t)}} = F \sqrt{g\,\frac{\Delta\rho}{\rho_0}\,L_0\,h_0} \times \frac{\psi^{1/2}}{L^{1/2}}

   En multipliant par L^{1/2}, on retrouve l'équation différentielle proposée :

   L^{1/2}\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = A\,\psi^{1/2}

   avec :

   \boxed{A = F \sqrt{g\,\frac{\Delta\rho}{\rho_0}\,L_0\,h_0}}

   Résultat

   $$A=F\sqrt{g\frac{\Delta \rho }{{\rho }_0}{L}_0{h}_0}$$

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4. Exercice 4ENS Physique BCPST 2025, Q11

   L'équation différentielle (4) régissant la longueur L(t) du nuage s'écrit :

   L^{1/2} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = A \psi^{1/2}

   La fraction volumique solide d'excès \psi étant supposée constante dans cette section, cette équation différentielle non linéaire est à variables séparables :

   L^{1/2}\,\mathrm{d}L = A \psi^{1/2}\,\mathrm{d}t

   En intégrant entre l'instant initial t = 0, où L(0) = L_0, et un instant t quelconque :

   \begin{aligned} \int_{L_0}^{L(t)} L'^{1/2}\,\mathrm{d}L' &= \int_0^t A \psi^{1/2}\,\mathrm{d}t' \\ \left[ \frac{2}{3} L'^{3/2} \right]_{L_0}^{L(t)} &= A \psi^{1/2} t \\ \frac{2}{3} \left( L(t)^{3/2} - L_0^{3/2} \right) &= A \psi^{1/2} t \end{aligned}

   On en déduit l'expression de L(t)^{3/2} :

   L(t)^{3/2} = L_0^{3/2} + \frac{3}{2} A \psi^{1/2} t

   Puis, en élevant à la puissance 2/3 :

   \boxed{L(t) = \left( L_0^{3/2} + \frac{3}{2} A \psi^{1/2} t \right)^{2/3}}

   Résultat

   $$L(t)={\left(L_0^{3/2}+\frac{3}{2}A{\psi }^{1/2}t\right)}^{2/3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique BCPST 2025, Q12

   D'après le résultat de la question Q11, la longueur du nuage s'écrit :

   L(t) = \left( L_0^{3/2} + \frac{3}{2} A \psi^{1/2} t \right)^{2/3}

   avec A > 0 et \psi > 0 constants dans ce modèle.

   Étude de la fonction L(t) :

   • Valeur initiale : à t = 0, on retrouve bien L(0) = L_0.

   • Vitesse d'expansion :

     \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = A \psi^{1/2} L(t)^{-1/2} > 0

     La fonction L(t) est donc strictement croissante. La pente à l'origine vaut u(0) = A \psi^{1/2} L_0^{-1/2}.

   • Concavité :

     \frac{\mathrm{d}^2 L}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{1}{2} A \psi^{1/2} L(t)^{-3/2} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{2} A^2 \psi L(t)^{-2} < 0

     La fonction est strictement concave (la progression du nuage ralentit continûment au fur et à mesure qu'il s'étale et que sa hauteur h(t) diminue).

   Allure graphique :

   Comportement quand t \to +\infty : Lorsque t \to +\infty, le terme linéaire domine largement le terme initial :

   L(t) \underset{t \to +\infty}{\sim} \left(\frac{3}{2} A \psi^{1/2}\right)^{2/3} t^{2/3}

   Par conséquent :

   \boxed{\lim_{t \to +\infty} L(t) = +\infty}

   La fonction L(t) n'admet donc aucune limite finie : dans le cadre de ce modèle sans dépôt de matière, le nuage s'étend indéfiniment.

   Résultat

   $$\underset{t\to +\infty }{\lim }L(t)=+\infty$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique BCPST 2023, Q53

   Par définition, la vitesse moyenne v_s du fluide à travers une section droite S = \pi R^2 de la conduite cylindrique est reliée au débit volumique Q_v par :

   v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{Q_v}{\pi R^2}

   D'après le résultat de la question Q51, le débit volumique s'écrit :

   Q_v = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8\eta\ell}

   d'où l'expression de la vitesse moyenne :

   v_s = \frac{R^2 \Delta P}{8\eta\ell}

   Par ailleurs, d'après la question Q50, le profil de vitesse est donné par :

   v(r) = A\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \quad \text{avec} \quad A = \frac{R^2 \Delta P}{4\eta\ell}

   La vitesse est maximale sur l'axe de la conduite, en r = 0 :

   v_{s,\max} = v(0) = A = \frac{R^2 \Delta P}{4\eta\ell}

   En comparant les expressions de v_s et de v_{s,\max}, on obtient la relation :

   \boxed{v_s = \frac{1}{2}\,v_{s,\max}}

   Résultat

   $$v_s=\frac{1}{2}{v}_{s,\max }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique BCPST 2023, Q57

   Le fluide étant supposé incompressible et l'écoulement stationnaire, la conservation du débit volumique au niveau de la jonction (nœud N) s'écrit :

   Q_s = Q_e + 2 Q_f

   où Q_e est le débit issu du canal d'entrée et 2 Q_f est le débit cumulé issu des deux canaux d'entraînement identiques.

   Expression de w_s : La section droite rectangulaire du canal de sortie a pour aire S = w_s h. Par définition de la vitesse moyenne v_s sur cette section, le débit volumique total traversant le canal de sortie est :

   Q_s = v_s S = v_s w_s h

   On en déduit l'expression de la largeur w_s du canal de sortie :

   \boxed{w_s = \frac{Q_e + 2 Q_f}{h\, v_s}}

   Expression de w_c : L'écoulement entrant étant supposé fortement focalisé, le fluide d'intérêt est confiné dans une bande centrale de largeur w_c \ll w_s et de hauteur h. Au voisinage immédiat du centre (y = 0), le profil de Poiseuille présente un extremum : la vitesse y varie très peu et peut être considérée comme uniforme et égale à sa valeur maximale sur l'axe, v_{s,\max}.

   Le débit volumique Q_e de fluide d'intérêt transporté à travers la section centrale S_c = w_c h s'exprime donc par :

   Q_e = \iint_{S_c} v(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \approx v_{s,\max} w_c h

   On en déduit l'expression de la largeur w_c du filet focalisé :

   \boxed{w_c = \frac{Q_e}{h\, v_{s,\max}}}

   Résultat

   $$w_s=\frac{Q_e+2Q_f}{h{v}_s}$$

   $$w_c=\frac{Q_e}{h{v}_{s,\max }}$$

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8. Exercice 8ENS Physique BCPST 2020, Q35

   1. Invariance par rapport à \theta

   Le système physique est constitué d'une sphère de rayon R en translation rectiligne uniforme à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z dans un fluide infini.

   • La géométrie de la sphère est de révolution autour de l'axe (Oz) ;
   • La direction du mouvement impose un axe privilégié le long de (Oz) ;
   • Les conditions aux limites (adhérence sur la sphère et fluide au repos à l'infini dans le laboratoire) sont indépendantes de toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (Oz).

   Le problème présente donc une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). Par conséquent, le champ de vitesses est invariant par rotation autour de cet axe, ce qui justifie que ses composantes ne dépendent pas de la variable angulaire \theta :

   \boxed{\frac{\partial \vec{v}}{\partial \theta} = \vec{0}}

   2. Condition aux limites en r = R

   Dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} lié à la bactérie, la surface de la membrane est immobile. Pour un fluide visqueux, la condition aux limites à l'interface solide-fluide est la condition d'adhérence :

   \vec{v}(R, \varphi) = \vec{0}

   Évaluons les composantes du champ proposé pour r = R :

   \begin{aligned} v_r(R, \varphi) &= -V \cos \varphi \left( 1 - \frac{3R}{2R} + \frac{R^3}{2R^3} \right) = -V \cos \varphi \left( 1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0 \\ v_\varphi(R, \varphi) &= V \sin \varphi \left( 1 - \frac{3R}{4R} - \frac{R^3}{4R^3} \right) = V \sin \varphi \left( 1 - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right) = 0 \end{aligned}

   La composante selon \vec{e}_\theta étant identiquement nulle, on a bien :

   \boxed{\vec{v}(r = R) = \vec{0}}

   La condition d'adhérence à la paroi est parfaitement vérifiée.

   3. Condition aux limites pour r \to \infty

   Dans le référentiel du laboratoire, le fluide est au repos à l'infini : \vec{v}_{\mathrm{lab}}(\vec{r}) \xrightarrow{r \to \infty} \vec{0}. Dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} en translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{e}_z par rapport au laboratoire, la loi de composition des vitesses impose :

   \vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_{\mathrm{lab}}(\vec{r}) - \vec{V} \xrightarrow{r \to \infty} -\vec{V} = -V \vec{e}_z

   D'après la définition des coordonnées sphériques données en préambule, le vecteur unitaire \vec{e}_z se décompose sur la base locale selon :

   \vec{e}_z = \cos \varphi \, \vec{e}_r - \sin \varphi \, \vec{e}_\varphi

   D'où l'expression attendue du champ uniforme à l'infini :

   -V\vec{e}_z = -V \cos \varphi \, \vec{e}_r + V \sin \varphi \, \vec{e}_\varphi

   En prenant la limite r \to \infty dans l'expression (12) du sujet :

   \begin{aligned} \lim_{r \to \infty} \left( 1 - \frac{3R}{2r} + \frac{R^3}{2r^3} \right) &= 1 \\ \lim_{r \to \infty} \left( 1 - \frac{3R}{4r} - \frac{R^3}{4r^3} \right) &= 1 \end{aligned}

   On obtient immédiatement :

   \boxed{\lim_{r \to \infty} \vec{v}(\vec{r}) = -V \cos \varphi \, \vec{e}_r + V \sin \varphi \, \vec{e}_\varphi = -V \vec{e}_z}

   La condition aux limites à l'infini est donc bien respectée.

   Résultat

   $$\frac{\partial \vec{v}}{\partial \theta }=\vec{0}$$

   $$\vec{v}(r=R)=\vec{0}$$

   $$\underset{r\to \infty }{\lim }\vec{v}(\vec{r})=-V\cos \phi {\vec{e}}_r+V\sin \phi {\vec{e}}_{\phi }=-V{\vec{e}}_z$$

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9. Exercice 9ENS Physique BCPST 2020, Q36

   Dans le référentiel de la bactérie \mathcal{R}_{\mathrm{b}}, le fluide s'écoule globalement dans la direction -\vec{e}_z, parallèlement à l'axe (Oz), avec la vitesse uniforme au loin :

   \lim_{r\to\infty} \vec{v}(\vec{r}) = -V\vec{e}_z.

   L'écoulement présente les propriétés fondamentales suivantes :

   • Invariance par rotation autour de l'axe (Oz) : le motif des lignes de courant est identique dans tout plan méridien contenant (Oz), par exemple le plan (xOz).
   • Conditions aux limites à la paroi : sur la sphère de rayon R, la vitesse s'annule strictement (\vec{v}(R, \varphi) = \vec{0}) en vertu de la condition de non-glissement. La surface de la sphère constitue une surface de courant.
   • Points d'arrêt : sur l'axe (Oz), pour \varphi = 0 (z = +R) et \varphi = \pi (z = -R), la vitesse est nulle. L'axe (Oz) (privé de l'intérieur de la sphère) forme une ligne de courant particulière, qui bute sur la sphère au point d'arrêt amont et en repart au point d'arrêt aval.
   • Symétrie amont-aval : en régime de Stokes (\mathrm{Re} \ll 1), l'écoulement est gouverné par une équation linéaire réversible dans le temps. En effectuant la transformation z \to -z (c'est-à-dire \varphi \to \pi - \varphi), on a \cos(\pi-\varphi) = -\cos\varphi et \sin(\pi-\varphi) = \sin\varphi, ce qui assure une parfaite symétrie amont-aval des lignes de courant, sans décollement ni zone de recirculation (sillage turbulent absent).

   On représente ci-dessous l'allure des lignes de courant dans le plan (xOz) :

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10. Exercice 10ENS Physique BCPST 2025, Q13

    Si la longueur du nuage atteint une valeur finie L_{\infty} = \lim_{t \to +\infty} L(t), la vitesse d'avancée du front doit nécessairement s'annuler en temps long :

    \lim_{t \to +\infty} \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = 0

    D'après l'équation différentielle (4) issue de la question Q10 :

    L^{1/2}\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = A \psi^{1/2}

    Comme L(t) tend vers une limite finie non nulle L_\infty, le membre de gauche tend vers 0 lorsque t \to +\infty. La constante A étant strictement positive, cela implique que :

    \boxed{\lim_{t \to +\infty} \psi(t) = 0}

    Lorsque \psi \to 0, la fraction volumique solide tend vers sa valeur critique \phi_{\min}, ce qui annule la gravité effective g' (d'après l'équation (2)) : la masse volumique du nuage devient égale à celle de l'air ambiant (\rho_{\mathrm{c}} \to \rho_0), de sorte que la poussée d'Archimède compense exactement le poids du nuage, éteignant le moteur gravitaire de l'écoulement.

    Dans la réalité, les particules solides en suspension ne restent pas indéfiniment dans le nuage : sous l'action de la pesanteur, elles tombent et se déposent sur le sol. Le phénomène physique indispensable à prendre en compte pour compléter ce modèle est donc la sédimentation (ou le dépôt gravitaire) des particules solides.

    Résultat

    $$\underset{t\to +\infty }{\lim }\psi (t)=0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question