Feuille d'entraînement : Conversion électromécanique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q54

   D'après la question Q51 et l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), le champ magnétique créé par le stator à l'intérieur du solénoïde s'écrit à chaque instant :

   \vec{B}_s(t) = -\mu_0 n\,i_s(t)\,\vec{e}_x = -\mu_0 n I_s \cos(\omega t)\,\vec{e}_x

   D'après les questions Q52 et Q53, le moment magnétique associé à la spire rotorique s'exprime par :

   \vec{m}(t) = I_r \pi a^2 \left[ \cos\theta(t)\,\vec{e}_x - \sin\theta(t)\,\vec{e}_z \right]

   avec \theta(t) = \omega_s t + \theta_0.

   Le couple des actions de Laplace subi par le rotor est donné par l'équation (8) de l'énoncé :

   \begin{aligned} \vec{\Gamma}(t) &= \vec{m}(t) \wedge \vec{B}_s(t) \\ &= I_r \pi a^2 \left[ \cos\theta(t)\,\vec{e}_x - \sin\theta(t)\,\vec{e}_z \right] \wedge \left[ -\mu_0 n I_s \cos(\omega t)\,\vec{e}_x \right] \end{aligned}

   Sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_x = \vec{0} et que dans la base orthonormée directe (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z), on a \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x = \vec{e}_y, il vient :

   \begin{aligned} \vec{\Gamma}(t) &= (-\sin\theta(t)) \cdot (-\mu_0 n I_s I_r \pi a^2 \cos(\omega t)) \,(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x) \\ &= \mu_0 n I_r I_s \pi a^2 \cos(\omega t)\sin(\omega_s t + \theta_0)\,\vec{e}_y \end{aligned}

   En tenant compte du sens de parcours et de l'orientation de l'axe de rotation du rotor (autour de l'axe (Oy)), le couple exercé par le stator s'écrit :

   \boxed{\vec{\Gamma}(t) = \mu_0 n I_r I_s \pi a^2 \cos(\omega t)\sin(\omega_s t + \theta_0)\,\vec{e}_y}

   Résultat

   $$\vec{\Gamma }(t)={\mu }_{0}n{I}_r{I}_s\pi a^2\cos (\omega t)\sin ({\omega }_{s}t+{\theta }_0){\vec{e}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q55

   D'après la question Q54, le couple instantané exercé sur le rotor s'écrit selon l'axe (Oy) :

   \vec{\Gamma}(t) = \mu_0 n I_r I_s \pi a^2 \cos(\omega t) \sin(\omega_s t + \theta_0)\,\vec{e}_y

   En utilisant l'identité trigonométrique fournie dans l'énoncé, \cos a \sin b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) - \sin(a-b)], avec a = \omega t et b = \omega_s t + \theta_0, on obtient :

   \begin{aligned} \cos(\omega t)\sin(\omega_s t + \theta_0) &= \frac{1}{2}\left[\sin\big((\omega + \omega_s)t + \theta_0\big) - \sin\big((\omega - \omega_s)t - \theta_0\big)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\sin\big((\omega_s + \omega)t + \theta_0\big) + \sin\big((\omega_s - \omega)t + \theta_0\big)\right] \end{aligned}

   Le couple s'exprime donc comme la somme de deux termes oscillants :

   \vec{\Gamma}(t) = \frac{\mu_0 n I_r I_s \pi a^2}{2} \left[ \sin\big((\omega_s + \omega)t + \theta_0\big) + \sin\big((\omega_s - \omega)t + \theta_0\big) \right]\vec{e}_y

   La moyenne temporelle d'une fonction sinusoïdale de pulsation non nulle \Omega \neq 0 est rigoureusement nulle :

   \langle \sin(\Omega t + \phi) \rangle = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T}\int_0^T \sin(\Omega t + \phi)\,\mathrm{d}t = 0

   Si \omega \neq \omega_s, les deux pulsations (\omega_s + \omega) et (\omega_s - \omega) sont non nulles (puisque \omega > 0 et \omega_s > 0). Les deux termes sinusoïdaux ont donc une valeur moyenne temporelle nulle, d'où :

   \boxed{\langle \vec{\Gamma} \rangle = \vec{0} \quad \text{si} \quad \omega \neq \omega_s}

   Commentaire sur le terme « synchrone » :

   Pour qu'un couple moyen utile non nul puisse être développé et ainsi entraîner durablement une charge mécanique, il est impératif que la vitesse angulaire de rotation du rotor \omega_s soit rigoureusement égale à la pulsation électrique \omega des courants statoriques :

   \omega_s = \omega

   Le rotor tourne donc à la même vitesse (au synchronisme) que le champ magnétique tournant créé par le stator : c'est précisément ce qui justifie l'appellation de moteur synchrone.

   Résultat

   $$⟨\vec{\Gamma }⟩=\vec{0}\text{si}\omega \ne {\omega }_s$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q56

   Le rotor est en rotation autour de l'axe (Oy) à la vitesse angulaire instantanée :

   \vec{\Omega} = \omega_s\,\vec{e}_y

   La puissance instantanée des actions de Laplace exercées par le stator sur le rotor est donnée par :

   P_L(t) = \vec{\Gamma}(t) \cdot \vec{\Omega}

   En utilisant l'expression du couple de Laplace avec \vec{B}_s(t) = -\mu_0 n I_s \cos(\omega t)\vec{e}_x et \theta(t) = \omega_s t + \theta_0 :

   \begin{aligned} \vec{\Gamma}(t) &= -\mu_0 n I_r I_s \pi a^2 \cos(\omega t) \sin(\omega_s t + \theta_0)\,\vec{e}_y \\ P_L(t) &= - \mu_0 n I_s I_r \pi a^2 \omega_s \cos(\omega t) \sin(\omega_s t + \theta_0) \end{aligned}

   À la condition de synchronisme \omega = \omega_s, l'argument du sinus devient \omega t + \theta_0. On utilise la formule trigonométrique de l'énoncé avec a = \omega t et b = \omega t + \theta_0 :

   \begin{aligned} \cos(\omega t)\sin(\omega t + \theta_0) &= \frac{1}{2}\left[\sin(2\omega t + \theta_0) - \sin(-\theta_0)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[\sin(2\omega t + \theta_0) + \sin(\theta_0)\right] \end{aligned}

   Prenons la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. La fonction \sin(2\omega t + \theta_0) est périodique de valeur moyenne nulle sur une période :

   \langle \sin(2\omega t + \theta_0) \rangle = 0

   Il ne subsiste donc que le terme constant, ce qui donne directement :

   \boxed{\langle P_L \rangle = -\frac{I_s I_r \pi a^2 \mu_0 n \omega_s \sin(\theta_0)}{2}}

   Résultat

   $$⟨P_L⟩=-\frac{I_s{I}_r\pi a^2{\mu }_{0}n{\omega }_s\sin ({\theta }_0)}{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q27

   1. Principe du champ d'énergie potentielle glissant

   Pour que l'aimant subisse en continu une force motrice dirigée vers la droite (\vec{F} = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x}\vec{e}_x > 0), il doit en permanence se situer sur une pente descendante de l'énergie potentielle.

   Le système de contrôle commande l'alimentation des spires successives du stator par l'intermédiaire d'un onduleur :

   • en inversant le sens du courant ou en alimentant les spires par des courants déphasés dans le temps, la polarité magnétique des bobines alterne au cours du temps ;
   • les pôles Nord et Sud créés par le stator se propagent ainsi le long de l'axe (Ox) vers la droite sous forme d'une onde magnétique progressive. Le profil d'énergie potentielle E_p(x,t) glisse donc vers la droite à une vitesse synchrone v_s(t) modulable.

   2. Nécessité d'une rétroaction

   Au cours de la phase de lancement, le train accélère : sa vitesse v(t) et sa position x(t) évoluent en permanence. De plus, la masse du train dépend du nombre de passagers et des frottements imprévisibles (résistance de l'air, frottements mécaniques) peuvent perturber le mouvement.

   En boucle ouverte, le moindre écart entre la vitesse de l'onde glissante et celle du train entraînerait un décrochage synchrone : l'aimant se retrouverait alors sur une pente montante du profil d'énergie potentielle (\mathrm{d}E_p/\mathrm{d}x > 0), produisant une force de freinage brutale et une perte de propulsion.

   Une boucle de rétroaction est donc indispensable pour adapter à chaque instant la fréquence et la phase d'alimentation des spires à la position réelle du train (autopilotage).

   3. Réalisation pratique de la rétroaction

   Cette rétroaction peut être réalisée en pratique par :

   • des capteurs de position disposés le long de la voie (capteurs à effet Hall détectant le passage des aimants du train, barrières optiques ou capteurs inductifs) ;
   • une unité de commande (calculateur temps réel) qui reçoit les signaux de position, évalue la vitesse instantanée du train et pilote les interrupteurs de puissance (onduleur) afin d'injecter le courant au moment précis où chaque aimant se situe dans la position motrice optimale identifiée à la question Q26.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2020, Q25

   D'après la définition du facteur de force \beta, on a la relation dimensionnelle :

   [\beta] = \frac{[F]}{[U]}

   où [F] désigne la dimension d'une force et [U] celle d'une tension électrique.

   Par conséquent, la dimension du produit \beta v_z s'écrit :

   [\beta v_z] = [\beta]\,[v_z] = \frac{[F]\,[v_z]}{[U]}

   Or, le produit d'une force par une vitesse est homogène à une puissance mécanique :

   [F]\,[v_z] = [\mathcal{P}]

   De même, une puissance électrique s'exprime comme le produit d'une tension par une intensité de courant :

   [\mathcal{P}] = [U]\,[I]

   On en déduit :

   [\beta v_z] = \frac{[U]\,[I]}{[U]} = [I]

   \boxed{\text{Le produit } \beta v_z \text{ est homogène à l'intensité d'un courant électrique.}}

   Résultat

   $$\text{Le produit }\beta v_z\text{ est homogeˋne aˋ l’intensiteˊ d’un courant eˊlectrique.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q57

   D'après l'expression établie à la question Q56 :

   \langle P_L \rangle = -\frac{I_s I_r \pi a^2 \mu_0 n \omega_s \sin(\theta_0)}{2}

   Les grandeurs I_s, I_r, a, \mu_0, n et la vitesse angulaire \omega_s étant par convention strictement positives, le système fournit une puissance mécanique motrice au rotor (\langle P_L \rangle > 0) si et seulement si :

   -\sin(\theta_0) > 0 \iff \sin(\theta_0) < 0

   Soit, modulo 2\pi :

   \boxed{\theta_0 \in ]-\pi, 0[ \pmod{2\pi}} \quad \text{(ou encore } \sin(\theta_0) < 0\text{)}

   Si cette condition n'est pas vérifiée :

   • Pour \sin(\theta_0) > 0 (\theta_0 \in ]0, \pi[), on a \langle P_L \rangle < 0 : le couple électromagnétique s'oppose au mouvement et reçoit un travail mécanique du rotor pour le convertir en énergie électrique. Le système fonctionne alors en régime générateur (ou alternateur).
   • Pour \sin(\theta_0) = 0, le couple moyen est nul.

   \boxed{\text{Régime générateur (ou alternateur)}}

   Résultat

   $${\theta }_0\in ]-\pi ,0[(\mathrm{mod}2\pi )$$

   $$\text{Reˊgime geˊneˊrateur (ou alternateur)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q58

   Le rendement électromécanique \eta_{\text{él}} du moteur est défini comme le rapport entre la puissance mécanique fournie au rotor \mathcal{P}_{\text{méc}} et la puissance électrique consommée \mathcal{P}_{\text{élec}} :

   \eta_{\text{él}} = \frac{\mathcal{P}_{\text{méc}}}{\mathcal{P}_{\text{élec}}}

   La puissance électrique consommée par le moteur s'exprime donc par :

   \mathcal{P}_{\text{élec}} = \frac{\mathcal{P}_{\text{méc}}}{\eta_{\text{él}}}

   À la vitesse v_0 = 100\text{ km}\cdot\mathrm{h}^{-1}, l'énoncé indique que la puissance mécanique à fournir est \mathcal{P}_{\text{méc}} = 12\text{ kW}, avec un rendement \eta_{\text{él}} = 0{,}6 :

   \mathcal{P}_{\text{élec}} = \frac{12\text{ kW}}{0{,}6} = 20\text{ kW}

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{élec}} = 20\text{ kW}}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{\text{eˊlec}}=20\text{ kW}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question